作业一
1、一只股票现在价格是100元。有连续两个时间步，每个步长6个月，每个单步二叉树预期
上涨10%，或下跌10%，无风险利率8%（连续复利），运用无套利原则求执行价格为100元的看涨期权的价值。
2、假设市场上股票价格S=20元，执行价格X=18元，r=10%,T=1年。如果市场报价欧式看
涨期权的价格是3元，试问存在无风险的套利机会吗？如果有，如何套利？
3、股票当前的价格是100元，以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别是3
元和7元。如果买入看涨期权、卖出看跌期权，再购入到期日价值为100 的无风险债券，则我们就复制了该股票的价值特征（可以叫做合成股票）。试问无风险债券的投资成本是多少？如果偏离了这个价格，市场会发生怎样的套利行为？ 作业解答：
1、按照本章的符号，u=1.1,d=0.9,r=0.08,所以p=( e0.08×0.5-0.9)/(1.1-0.9)=0.7041。这里p是风险中性概率。期权的价值是：
(0. 70412×21+2×0.7041×0.2959×0+0.29592×0) e-0.08=9.61。
2、本题中看涨期权的价值应该是S-Xe-rT=20-18e-0.1=3.71。显然题中的期权价格小于此数，会引发套利活动。套利者可以购买看涨期权并卖空股票，现金流是20-3=17。17以10%投资一年，成为17 e0.1==18.79。到期后如果股票价格高于18，套利者以18元的价格执行期权，并将股票的空头平仓，则可获利18.79-18=0.79元。若股票价格低于18元（比如17元），套利者可以购买股票并将股票空头平仓，盈利是18.79-17=1.79元。
3、无风险证券的投资成本因该是100-7+3=96元，否则，市场就会出现以下套利活动。
第一，若投资成本低于96元（比如是93元），则合成股票的成本只有97元（7-3+93），相对于股票投资少了3元。套利者以97元买入合成股票，以100元卖空标的股票，获得无风险收益3元。
第二，若投资成本高于96元（比如是98元），则合成股票的成本是102元，高于股票投资成本2元。套利者可以买入股票同时卖出合成股票，可以带来2元的无风险利润。
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作业二：
1. A公司和B公司如果要在金融市场上借入5年期本金为2000万美元的贷款，需支付的年利率分别为：
A公司 B公司 固定利率 12.0％ 13.4％ 浮动利率 LIBOR+0.1% LIBOR+0.6% A公司需要的是浮动利率贷款，B公司需要的是固定利率贷款。请设计一个利率互换，其中银行作为中介获得的报酬是0.1％的利差，而且要求互换对双方具有同样的吸引力。
2. X公司希望以固定利率借入美元，而Y公司希望以固定利率借入日元，而且本金用即期汇率计算价值很接近。市场对这两个公司的报价如下：
X公司 Y公司 日元 5.0％ 6.5％ 美元 9.6% 10.0% 请设计一个货币互换，银行作为中介获得的报酬是50个基点，而且要求互换对双方具有同样的吸引力，汇率风险由银行承担。
3. 一份本金为10亿美元的利率互换还有10月的期限。这笔互换规定以6个月的LIBOR利率交换12％的年利率（每半年计一次复利）。市场上对交换6个月的LIBOR利率的所有期限的利率的平均报价为10％（连续复利）。两个月前6个月的LIBOR利率为9.6％。请问上述互换对支付浮动利率的那一方价值为多少？对支付固定利率的那一方价值为多少？ 作业答案：
1. A公司在固定利率贷款市场上有明显的比较优势，但A公司想借的是浮动利率贷款。而B公司在浮动利率贷款市场上有明显的比较优势，但A公司想借的是固定利率贷款。这为互换交易发挥作用提供了基础。两个公司在固定利率贷款上的年利差是1.4%，在浮动利率贷款上的年利差是0.5。如果双方合作，互换交易每年的总收益将是1.4%－0.5%=0.9%。因为银行要获得0.1%的报酬，所以A公司和B公司每人将获得0.4%的收益。这意味着A公司和B公司将分别以LIBOR－0.3%和13%的利率借入贷款。合适的协议安排如图所示。
12.3% 12.4%
12% A 金融中介 B LIBOR+0.6%
2
LIBOR LIBOR
2. X公司在日元市场上有比较优势但想借入美元，Y公司在美元市场上有比较优势但想借入日元。这为互换交易发挥作用提供了基础。两个公司在日元贷款上的利差为1.5%，在美元贷款上的利差为0.4%，因此双方在互换合作中的年总收益为1.5%－0.4%=1.1%。因为银行要求收取0.5%的中介费，这样X公司和Y公司将分别获得0.3%的合作收益。互换后X公司实际上以9.6%－0.3%=9.3%的利率借入美元，而Y实际上以6.5%－0.3%=6.2%借入日元。合适的协议安排如图所示。所有的汇率风险由银行承担。
日元5% 日元6.2%
日元5% A 金融中介 B 美元10%
美元9.3% 美元10%
3. 根据题目提供的条件可知，LIBOR的收益率曲线的期限结构是平的，都是10%（半年计一次复利）。互换合约中隐含的固定利率债券的价值为
6e?0.3333?0.1?106e?0.8333?0.1?103.33百万美元
互换合约中隐含的浮动利率债券的价值为
?100?4.8?e?0.3333?0.1?101.36百万美元
因此，互换对支付浮动利率的一方的价值为103.33?101.36?1.97百万美元，对支付固定利率的一方的价值为－1.97百万美元。
加元5% 加元6.25%
加元5% A 金融中介 B 美元LIBOR+1%
美元LIBOR+0.25% 美元LIBOR+1%
本金的支付方向在互换开始时与箭头指示相反，在互换终止时与箭头指示相同。金融中介在此期间承担了外汇风险，但可以用外汇远期合约抵补。 作业三：
1．假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%，年波动率30%，该股票当天收盘价为50元，求：?第二天收盘时的预期价格，?第二天收盘时股价的标准差，?在量信度为95%情况下，该股票第二天收盘时的价格范围。
2．某股票市价为70元，年波动率为32%，该股票预计3个月和6个月后将分别支付1元股息，市场无风险利率为10%。现考虑该股票的美式看涨期权，其协议价格为65元，有效
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《金融工程》作业一、二、三
