年大连市高等数学竞赛试题B答案
大连市第二十三届学 校 高等数学竞赛试卷 答案（B）
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阅卷 一、填空题（本大题共5小题，每小题2分，总计10分）
n1. lim?n???n?1??n?1??= e^2 .
2. limtanx?sinxx?0x3= 1/2 .
3. xlim?0?xx= 1 .
x4. lim?cost2dt0x?0x= 1 .
5. 若limx2?ax?bx?1x2?x?2?2,则(a,b)?(?4,5).
阅卷 ?31 二、（本题10分）设f(x)???xsinx(x?0),??1(x?0),解 当x?0时，f(x)?x3sin1x为一初等函数，这时
f?(x)?3x2sin1?x3?1??1?x??cosx?????x2??（6分） ?3x2sin11x?xcosx;当x?0时，由于
lim1x?0f(x)?limx?0x3sinx?0?f(0),（8分） 求f?(x). 年大连市高等数学竞赛试题B答案
题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 分 数 年大连市高等数学竞赛试题B答案
阅卷 x2?x11?2的间断点，并判断二、 三、（本题8分）求函数f(x)?2x?1x类型. 解：x?0,x?1,x??1为间断点。（3分） 当x?0时，
lim0?f(x)?limx1?x2由于x?0?x?1|x|?1,
x?而limx?0?f(x)?limx1?x2x?0?x?1|x|??1, 所以x?0是跳跃间断点。（5分） 当x?1时，
limx?1f(x)?limx1?x2由于1x?1|x|?1,
x?所以x?1是可去间断点。（7分） 当x??1时， 而limx??1f(x)??,
所以x??1是无穷间断点。（8分）
考生注意： 考试时间 150 分钟 试卷总分 100 分 四 页 第 1页
共
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学 校 姓 名 阅卷 四、（本题10分）曲线y?13x6(x?0)上哪一点处的法线在y轴上的截距最小
解 设y?13x6在(x,y)处的法线方程为 Y?y?k(X?x)，
因为y??2x5，所以k??12x5，法线方程为 Y?y??12x5(X?x)，（4分） 整理后为 Y?y?X2x5?12x4??12x5X?1162x4?3x， 法线在y轴上的截距为 b?12x4?13x6。
（6分） 求此函数的极值：令b??0，解得x1?1,x2??1（舍去）;（8分）
b???10x6?10x4,b??(1)?20?0, 故b(1)为极小值。由于驻点唯一，知它即是最小值，因此曲线在点??1,1??3??处的法线在y轴上截距最小。（10分）
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