式中,?10 C为光线在波导层和衬底层的交界面上发生全反射的临界角
?i1??10 C
②
?10 C?arcsin??n0?? n?1?
③
同理应有
?i2??12 C
式中,?12 C为光线在波导层和衬底层的交界面上发生全反射的临界角
④
?12 C?arcsin??n2?? n?1?
⑤
由题设n1?n0?n2,可知
?10 C??12 C
?n?所以,当入射角?i1?arcsin?0?时,光被完全限制在波导薄膜里。
?n1?(2)考虑光波在波导薄膜中传播时处于临界的全反射状态。此时光波的波长可由光的入射角
?n??i1?arcsin?0??n1? A决定。此时光在介质n1与n0交界面的反射处于全反射
的临界状态,光在介质n1与n2交界面的反射也为全反射。如右图所示,?10和?12分别为1和0界面以及1和
⑥
φ12 B θi1 θi1 d l 2界面上的反射引入的相位(r10?e?i?10和r12?e?i?12)。φ10 过1和2界面上的反射点做直线(虚线)垂直于光线A,
设光线A到虚线之前的路程长为l。此后,光线A与再经过两次反射的光线B之间的相位差应该为2?的整数倍,以致光可在波导薄膜中传输。故
2dsec?i1?l2m??2???10??12?2dsec?i1?2dtan?i1sin?i1 ?2???10??12? ⑦
4d?cos?i1 ???10??12?2n04d? ?1?2??10??12?n1式中,m?0,1,2,3,,?为所传输光波在波导薄膜介质中的波长。
考虑介质n1与n0交界面的反射,由①式得
nsin?i1 sin?t0?1?1
n0考虑到⑧式,在介质n1与n0交界面的反射系数为
ncos?i1?n0cos?t0n1cos?i1 r10?1??1
n1cos?i1?n0cos?t0n1cos?i1
⑧
⑨
由上式可以得到介质n1与n0交界面的反射相位
⑩ ?10?0
再考虑介质n1与n2交界面的反射,由①式得
nsin?i1n0sin?t2?1? ?
n2n2按照题给的推广的定义,上式右边大于或等于1也并不奇怪。当n0?n2时,按照题给的推广的正弦和余弦的定义可知,cos?t2是一个纯虚数,可以写为
16
2n0cos?t2?i2?1n2
考虑到?式,则在介质n1与n2交界面的反射系数为
?
ncos?i1?n2cos?t2r12?1?n1cos?i1?n2cos?t222?n0?n2?exp??2iarctan22?22n1?n0n0n0?n11?2?n2i2?1n1n222n0n0n11?2?n2i2?1n1n2? ????
由上式可以得到介质n1与n2交界面的反射相位为
22n0?n2 ?12?2arctan22n1?n0 ?
将⑩和?式代入到⑦式中得,在给定m的情况下能在薄膜波导中传输的光波在该介质中的的最长波长(截止波长)为
2n02?d1?2n1??m??arctann?nn?n20212220 ?
式中,m?0,1,2,3,。当m?0时可得,能在薄膜波导中传输的光波在该介质中的的最长波长为
?max?2n02?d1?2n1arctann?nn?n20212220
?
评分参考:第(1)问10分,①②式各2分,③④式各1分,给出“入射角?i1?arcsin??n0??时,n?1?光被完全限制在波导薄膜里”的结论给2分,⑤⑥式各1分;第(2)问10分,⑦式2分,⑨⑩
??????式各1分。
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2015(复赛) 32届中学生物理竞赛和答案word版
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