数学归纳法解题

数学归纳法解题

数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法。

【例1】试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.

命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式.

知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.

技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.

证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q＞0且q≠1)

bn1∴a+c=n+bnqn=bn(n+qn)＞2bn

qqn

n

bqan?cna?cn

(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()(n≥2且n∈N*)

22下面用数学归纳法证明：

a2?c2a?c2①当n=2时，由2(a+c)＞(a+c)，∴?()

22ak?cka?ck②设n=k时成立，即?(),

22ak?1?ck?11则当n=k+1时，? (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)

2411＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c) 44a?cka?ca?ck+1 ＞()·()=()

2222

2

2

【例2】在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－成等比数列. (1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论；

命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、等基础知识.

12 1 / 3

知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.

错解分析：(2)中，Sk=－

1应舍去，这一点往往容易被忽视. 2k?3111}是以{}为首项，为公差的等差数列，SnS12技巧与方法：求通项可证明{进而求得通项公式.

解：∵an,Sn,Sn－成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－)(n≥2) (*)

(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－ 由a1=1，a2=－,S3=+a3代入(*)式得：a3=－

23132 15231212?1 (n?1)2?同理可得：a4=－,由此可推出：an=? 2? (n?1)35?(2n?3)(2n?1)?(2)①当n=1,2,3,4时，由(*)知猜想成立.

2成立

(2k?3)(2k?1)21故Sk2=－·(Sk－)

(2k?3)(2k?1)2②假设n=k(k≥2)时，ak=－

∴(2k－3)(2k－1)Sk2+2Sk－1=0

11 (舍) ,Sk??2k?12k?311由Sk+12=ak+1·(Sk+1－),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk－)

22∴Sk=

2ak?1ak?11122?a??a??ak?1k?1k?122k?12k?12(2k?1)

?2?ak?1?,即n?k?1命题也成立.[2(k?1)?3][2(k?1)?1]??1(n?1)?由①②知，an=?对一切n∈N成立. 2?(n?2)?(2n?3)(2n?1)?●锦囊妙记

(1)数学归纳法的基本形式

2 / 3

设P(n)是关于自然数n的命题，若 1°P(n0)成立(奠基)

2°假设P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立.

(2)数学归纳法的应用

具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.

3 / 3