2024版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I2.5对数与对数函数理详解

第二章 函数与基本初等函数I 2.5 对数与对数函数 理

1．分数指数幂

(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是a＝a(a>0，m，n∈N，且n>1)．于是，在条

*

mnnm件a>0，m，n∈N，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定a?mn*

＝

1amn(a>0，m，n∈N，且n>1).0的正分数

*

指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质：aa＝a2．指数函数的图象与性质

rsr＋s，(a)＝a，(ab)＝ab，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

rsrsrrry＝ax a>1 00时，y>1； 当x<0时，00时，01 (6)在(－∞，＋∞)上是增函数 (7)在(－∞，＋∞)上是减函数

【知识拓展】

1．指数函数图象画法的三个关键点

1x画指数函数y＝a(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，(－1，)．

a2.指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝a，(2)y＝b，(3)y＝c，(4)y＝d的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．

xxxxx 1

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)nan＝(na)n＝a.( × )

m(2)分数指数幂an可以理解为mn个a相乘．( × ) 21(3)(?1)4?(?1)2??1.( × )

(4)函数y＝a－x是R上的增函数．( × )

(5)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．( × ) (6)函数y＝2

x－1

是指数函数．( × )

1．(教材改编)若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点P(2，12)，则f(－1)等于( A.

21

2 B.2 C.4

D．4 答案 B

解析 由题意知12

22＝a，所以a＝2，

所以f(x)＝(22)x，所以f(－1)＝(22

)－1

＝2. 2．(2017·青岛调研)已知函数f(x)＝ax－2

＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为( )

A．(0,1) B．(2,3) C．(3,2) D．(2,2)

答案 B

解析 由a0

＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f(2)＝3，即图象必过定点(2,3)．

3．已知a?(35)?13,b?(35)?134,c?(32)?4,则a，b，c的大小关系是( )

A．c

答案 D

)

2

解析 ∵y＝(35

)x是减函数，

?(3?133?135)＞(5)4＞(5)0,

即a>b>1，

又c?(3?3302)4＜(2)?1,

∴c

3?1124．计算：(2)3?(?70426)?84?2?(?3)3＝________.

答案 2

解析 原式＝(21313)3?1?24?24?(213)3?2.

5．函数y＝8－23－x(x≥0)的值域是________．

答案 [0,8)

解析 ∵x≥0，∴－x≤0，∴3－x≤3， ∴0<2

3－x≤23＝8，∴0≤8－2

3－x<8，

∴函数y＝8－23－x的值域为[0,8).

题型一 指数幂的运算 例1 化简下列各式：

12(1)[(0.0645)?2.5]3?3338?π0;

41(2)a3?8a3b23a?3a222?(a??23b4b3?23ab?a3a)?5.

a?3a23解 (1)原式＝???64155?271?[()]2??1000??()3?1 ?841?[()3]5?(?52)?23?[(31)3]3102?1

＝52－3

2

－1＝0. 3