概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理
2010-2011
学年第一学期期末复习资料
概率论与数理统计期末复习重要知识点 第二章知识点：
1.离散型随机变量：设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散随机变量。 2.常用离散型分布：
（1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X
P{Xx1}p,P{Xx2}1p只有两个可能取值，且其分布为(0p1)， 则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布。 两点分布的概率分布： 两点分布的期望：
（2）二项分布： P{Xx1}p,P{Xx2}1p(0p1) E(X)p；两点分布的方差：D(X)p(1p)
若一个随机变量X的概率分布由式
给出，则称X服从参数为n,p的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布： 二项分布的期望： （3）泊松分布： P{xk}Cnp(1p)kknkkknk,k0,1,...,n. P{xk}Cnp(1p),k0,1,...,n. E(X)np；二项分布的方差：D(X)np(1p) k
P{Xk}e
若一个随机变量X的概率分布为 数为的泊松分布，记为X~P () k!,0,k0,1,2,...，则称X服从参 P{Xk}e
泊松分布的概率分布： 泊松分布的期望：
4.连续型随机变量： kk!,0,k0,1,2,... E(X)；泊松分布的方差：D(X) 如果对随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数 F(x)P{Xx}f(x)，使得对于任意实数x，有x f(t)dt，则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数， 简称为概率密度函数。
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5.常用的连续型分布： （1）均匀分布： 1,
若连续型随机变量X的概率密度为f(x)b0,
axb其它
，则称X在区间（a,b）上服 从均匀分布，记为X~U(a,b) 1,均匀分布的概率密度：f(x)ba 0, ab2
axb 其它 均匀分布的期望：（2）指数分布： E(X)
；均匀分布的方差： D(X) (ba)12 2
ex f(x)
0若连续型随机变量X的概率密度为 x00
，则称X服从参数为
的指数分布，记为X~e () x0
ex f(x)
0指数分布的概率密度： 0
指数分布的期望： （3）正态分布： E(X) 1
；指数分布的方差： D(X)
a
1
2 f(x) (x)2 2 2
x
若连续型随机变量X的概率密度为则称X服从参数为 和 2
2
的正态分布，记为X~N(,) (x)2 22 f(x)
正态分布的概率密度：正态分布的期望： E(X)
x D(X) x 2 2
；正态分布的方差：
（4）标准正态分布：
0, 2 1 (x) ， 2
(x) x e t 2 2
dt
标准正态分布表的使用： （1） x0 (x)1(x)
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学年第一学期期末复习资料 X~N(0,1)
P{axb}P{axb}P{axb} P{axb}(b)(a) X~N(,),Y2（2）X （3）
P{aXb}P{a~N(0,1),F(x)P{Xx}P{Xb}(b)(a)x(x) Y 2Y定理1： 设X~N(,),则X~N(0,1) 6.随机变量的分布函数： 设X是一个随机变量，称 分布函数的重要性质： 0F(x)1
P{x1Xx2}P{Xx2}P{Xx1}F(x2)F(x1) x1x2F(x1)F(x2) F()1,F()0F(x)P{Xx}为X的分布函数。 7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布 （1）由X的概率分布导出Y的概率分布步骤： ①根据X写出Y的所有可能取值；
②对Y的每一个可能取值yi确定相应的概率取值； ③常用表格的形式把Y的概率分布写出
（2）由X的概率密度函数（分布函数）求Y的概率密度函数（分布函数）的步骤：由X的概率密度函数
②由FY(y)fX(x)随机变量函数Y=g(X)的分布函数FY(y) 求导可得Y的概率密度函数 （3）对单调函数，计算Y=g(X)的概率密度简单方法： 定理1 设随机变量X具有概率密度 有fX(x)x(,)，又设y=g(x)处处可导且恒g(x)0’ （或恒有g(x)0’ ），则Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为 f[h(y)]|h’(y)|,fY(y)0y；其中xh(y)是y=g(x)的反函数，且 min(g(),g()),max(g(),g())
故① 练习题：
2.4 第7、13、14
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总习题 第3、6、9、10、11、13、14、17、18、19 第三章重要知识点：
（1）要会由X与Y的联合概率分布，求出X与Y各自概率分布或反过来；类似 P63 例2 （2）要会在X与Y独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据； 类似 P71 例3
（3）要会根据联合概率分布表求形如 P{aXb,cYd}的概率；
（4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。 2. 二维连续型随机变量X与Y的联合概率密度:
设（X,Y）为二维随机变量，F(x,y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对 x y
F(x,y) 任意实数（x,y），有，则称（X,Y）为二维连续型随机变量。 (1) 要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限； f(s,t)dsdt
(2) 要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y)，以及形如率值;P64 例3 P{XY}等联合概 (3) (4)
要会根据联合概率密度求出 x,y
的边缘密度;类似 P64 例4
要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。 3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质：
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