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圆锥曲线
一、知识结构 1. 方程的曲线
在平面直角坐标系中，如果某曲线
一个二元方程 f(x,y)=0
C( 看作适合某种条件的点的集合或轨迹
) 上的点与
的实数解建立了如下的关系：
(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 . 那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线 .
点与曲线的关系
0
若曲线 C 的方程是 f(x,y)=0
，则点 P (x
0
0
,y ) 在曲线 C 上
0
f(x ,y
0
)=0 ；
两条曲线的交点
2
点 P0(x 0,y 0) 不在曲线 C 上f(x 0,y 0) ≠ 0
若曲线 C1， C2 的方程分别为 f 1(x,y)=0,f f (x ,y )=0
1
0
0
(x,y)=0,则
点 P0(x 0,y 0) 是 C1， C2 的交点
f
线就没有 交点 .
2. 圆 圆的定义
点集：｛ M｜｜ OM｜ =r ｝，其中定点 O为圆心，定长 r 为半径 . 圆的方程 (1) 标准方程
圆心在 c(a,b) ，半径为 r 的圆方程是
(x-a) 2+(y-b) 2=r 2 圆心在坐标原点，半径为
r 的圆方程是
x2+y2=r 2
(2) 一般方程
当 D2+E2-4F ＞ 0 时，一元二次方程
2
(x 0,y 0) =0
n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲
方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有
x2+y2+Dx+Ey+F=0
叫做圆的一般方程，圆心为
(-
D
2
x2+y2 +Dx+Ey+F=0化为
,-
E
2
，半径是
D
2
E- 4F
2
2
.配方，将方程
(x+
D 2
2
) +(y+
E 2 2
) =
2
D 2 E -4F
4
当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点
(-
D E
,-
2
当 D2+E2-4F ＜ 0 时，方程不表示任何图形 . 点与圆的位置关系
);
2
已知圆心 C(a,b), 半径为 r, 点 M的坐标为 (x 0,y 0) ，则
｜ MC｜＜ r点 M在圆 C内， ｜ MC｜ =r点 M在圆 C 上，
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｜ MC｜＞ r
点 M在圆 C内， 其中｜ MC｜ = (x 0 - a)2 (y 0 - b)2 .
(3) 直线和圆的位置关系①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交有两个公共点 直线与圆相切有一个公共点 直线与圆相离 没有公共点②直线和圆的位置关系的判定 (i) 判别式法
(ii) 利用圆心 C(a,b) 到直线 Ax+By+C=0 的距离 d=
Aa Bb C A2
B2
与半径 r 的大小关系
来判定 .
3. 椭圆、双曲线和抛物线
椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表.
曲
性
线
椭
圆
双曲线
抛物线
质
轨迹条件
点集： ({M ｜｜ MF1+ ｜MF2｜ =2a, ｜ F 1F2 ｜＜2a＝
点集： {M｜｜ MF1｜ - ｜MF2｜ .
=± 2a, ｜ F2F2 ｜＞ 2a}.
点集 {M｜ ｜ MF｜ =点 M 到直线 l 的距离 }.
圆 形
2
x
2
y
2
x2y2
-
标准方程
a
+
2
=1(a ＞ b＞ 0)
=1(a ＞ 0,b ＞
b
22 a b
y2=2px(p ＞ 0)
0)
顶 点
A1 (-a,0),A 2(a,0); B1 (0,-b),B 2(0,b)
对称轴 x=0,y=0 长轴长： 2a 短轴长： 2b
A1(0,-a),A
2
(0,a)
轴
对称轴 x=0,y=0 实轴长： 2a 虚轴长：
2b F1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在实轴上
O(0,0)
对称轴 y=
焦 点
F1(-c,0),F 2(c,0) 焦点在长轴上
F( ，0)
P
2
焦点对称轴上
｜ F1F2｜ =2c，
焦 距
｜ F1F2｜ =2c,
c= a2 - b2
c= a2 b2
x=±
准 线
a2
c
x=±
a2 c
x=-
p 2
准线垂直于长轴，且在椭圆外 . 准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧 .
准线与焦点位于顶点
两侧，且到顶点的距
离相等 .
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离心率
e= ,0 ＜e＜ 1
c
e= ,e ＞ 1
c
e=1
a
4. 圆锥曲线的统一定义
a
平面内的动点 P(x,y) 到一个定点 F(c,0) 的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的
距离之 比是一个常数 e(e ＞ 0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线
.
其中定点 F(c,0) 称为焦点，定直线 l 称为准线，正常数
e 称为离心率 .
当 0＜e＜ 1 时，轨迹为椭圆当 e=1 时，轨迹为抛物线当 e＞1 时，轨迹为双曲线
5. 坐标变换
坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换
( 如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向
叫做 坐标变换 . 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只
改变点 的坐标与曲线的方程 .
坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的
变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴
.
坐标轴的平移公式
设平面内任意一点 M，它在原坐标系 xOy 中的坐标是 9x,y) ，在新坐标系 x ′O′ y′中的坐标是 (x ′ ,y ′ ). 设新坐标系的原点
O′在原坐标系 xOy 中的坐标
是(h,k) ，则
x=x
′ +h
x
′ =x-h
(1)
或 (2)
y=y
′ +k
y ′ =y-k
公式 (1) 或 (2) 叫做平移 ( 或移轴 ) 公式 . 中心或顶点在 (h,k) 的圆锥曲线方程 中心或顶点在 (h,k) 的圆锥曲线方程见下表
.
方
程
焦 点
焦 线
对称轴
2
2
(x - h) + (y - k) =1
( ± c+h,k)
x=±
a 2
+h x=h 椭圆
a 2 b 2
c
y=k
2
2
(x - h) + (y - k) =1 (h, ± c+k)
y=±
a
2
+k
x=h
b2 a2
c
y=k
2
2
x=h
(x - h) - (y - k) =1
( ± c+h,k)
=±
a 2
+k
双曲线
a 2 b 2
y=k 2 2
(y - k)
- (x - h) =1 (h, ± c+h)
y=±
a c
2
x=h
+k
a2 b2
p
y=k (y-k) 2=2p(x-h)
( +h,k)
x=-
p
c
+h
y=k
2
2
(y-k)
2 =-2p(x-h)
(-
p +h,k)
x=
p +h y=k 抛物线
2
2
(x-h) 2=2p(y-k)
(h, p
+k)
y=- p
+k
x=h
2
p
(x-h) 2
=-2p(y-k)
(h,- +k)
y=
p
2
+k
x=h
2
2
)
高考第二轮复习专题圆锥曲线 (2).doc
