第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝ 60°，则β＝( )
A．60° B．120° C．30°
D．60°或120°
解析：由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°. 答案：D
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线BA1与CC1所成的角为( )
A．30° C．60°
B．45° D．90°
解析：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，故∠B1BA1就是异面直线BA1与CC1所成的角，故为45°.
答案：B
3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
1
A．30° C．60°
B．45° D．90°
解析：连接BD，B1D1，D1C知△D1B1C是等边三角形，所以D1B1
与B1C所成角为60°，故B1C与EF所成角也是60°
答案：C
4.如图，在三棱锥S -ABC中，与AB异面的棱为( )
A．BC B．SA C．SC D．SB
解析：根据异面直线的判定定理可知AB与SC为异面直线． 答案：C
5．三棱锥的对角线互相垂直相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )
A．梯形 C．平行四边形
B．矩形 D．正方形
解析：如图所示，因为BD⊥AC，且BD＝AC，又因为E，F，
2
11
G，H分别为对应边的中点，所以FG綊EH綊BD，HG綊EF綊AC.
22所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四边形EFGH为正方形．
答案：D 二、填空题
6．在四棱锥P-ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
解析：以底边所在直线为准进行考查，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8对异面直线．
答案：8
7．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，有下列结论： ①∠BAC＝∠B′A′C′； ②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；
③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°. 则一定成立的是________(填序号)． 解析：因为AB∥A′B′，AC∥A′C′，
所以∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180° 答案：③
8．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．
3
解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，所以AE与AD所成的角即为AE与BC所成的角，即是∠EAD.连接DE，
5
在Rt△ADE中，设AD＝a，则DE＝a，AE＝
2
3
AD＋DE＝
2
2
2
22
a，故cos∠EAD＝.所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为.
33
2
答案：
3三、解答题
9．如图，已知长方体的长和宽都是43 cm，高是4 cm.
(1)求BC和A′C′所成的角的度数． (2)求AA′和BC′所成的角的度数． 解：(1)在长方体中，BC∥B′C′， 所以∠A′C′B′为BC与A′C′所成的角． 因为A′B′＝B′C′＝43 cm，∠A′B′C′＝90°， 所以∠A′C′B′＝45°，所以BC和A′C′所成的角为45°. (2)在长方体中，AA′∥BB′， 所以∠C′BB′为AA′与BC′所成的角． 因为BB′＝4 cm，B′C′＝43 cm，
所以∠C′BB′＝60°，所以AA′和BC′所成的角为60°.
10．在空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB与CD成30°角，
4
E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成的角．
解：取BD的中点G，连接EG，FG， 因为E，F分别为BC，AD的中点， 11
所以EG綊CD，GF綊AB.
22
所以EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角． 因为AB＝CD，
所以△EFG为等腰三角形． 又AB与CD所成角为30°， 所以∠EGF＝30°或150°.
因为∠GFE就是EF与AB所成的角， 所以EF与AB所成角为75°或15°.
B级 能力提升
1．在三棱锥A-BCD中，AB，BC，CD的中点分别是P，Q，R，且PQ＝2，QR＝5，PR＝3，那么异面直线AC和BD所成的角是( )
A．90° C．45°
B．60° D．30°
11
解析：如图所示，因为PQ綊AC，QR綊BD，所以∠PQR为
22
5
[人教A版]高中数学同步检测：第二章2.1-2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系（含答案）
