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导数练习题
1．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，在x＝0处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知点A(2，m)，求过点A的曲线y＝f(x)的切线条数． 解 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， f′?1?＝3a＋2b＋c＝0，
??
由题意可得?f′?－1?＝3a－2b＋c＝0，
??f′?0?＝c＝－3，所以f(x)＝x3－3x.
(2)设切点为(t，t3－3t)，由(1)知f′(x)＝3x2－3，所以切线斜率k＝3t2－3， 切线方程为y－(t3－3t)＝(3t2－3)(x－t)．
又切线过点A(2，m)，代入得m－(t3－3t)＝(3t2－3)(2－t)，解得m＝－2t3＋6t2－6. 设g(t)＝－2t3＋6t2－6，令g′(t)＝0， 即－6t2＋12t＝0，解得t＝0或t＝2.
当t变化时，g′(t)与g(t)的变化情况如下表：
t g′(t) g(t) (－∞，0) － 0 0 极小值 (0,2) ＋ 2 0 极大值 (2，＋∞) －
a＝1，
??解得?b＝0，
??c＝－3.
所以g(t)的极小值为g(0)＝－6，极大值为g(2)＝2. 作出函数草图(图略)，由图可知：
①当m>2或m<－6时，方程m＝－2t3＋6t2－6只有一解，即过点A只有一条切线； ②当m＝2或m＝－6时，方程m＝－2t3＋6t2－6恰有两解，即过点A有两条切线； ③当－6 11 (1)当a＝2，b＝时，求函数f(x)在[，e]上的最大值； 2e ;. '. 3 (2)当b＝0时，若不等式f(x)≥m＋x对所有的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，求实数m的取 2值范围． 2－x2122 解 (1)由题意知，f(x)＝2ln x－x，f′(x)＝－x＝， 2xx11 当≤x≤e时，令f′(x)>0得≤x<2；令f′(x)<0，得2 1 ∴f(x)在[，2)上单调递增，在(2，e]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝ln 2－1. e 3 (2)当b＝0时，f(x)＝aln x，若不等式f(x)≥m＋x对所有的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，则 233 aln x≥m＋x对所有的a∈[0，]，x∈(1，e2]都成立，即m≤aln x－x，对所有的a∈[0，]，x∈(1， 22e2]都成立，令h(a)＝aln x－x，则h(a)为一次函数，m≤h(a)min.∵x∈(1，e2]，∴ln x>0， 3 ∴h(a)在[0，]上单调递增，∴h(a)min＝h(0)＝－x，∴m≤－x对所有的x∈(1，e2]都成立． 2∵1 (3)设n∈N*，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明． x 解 由题设得，g(x)＝(x≥0)． 1＋x x xxx (1)由已知，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可得gn(x)＝. x1＋x1＋2x1＋3x1＋nx1＋1＋x下面用数学归纳法证明． x ①当n＝1时，g1(x)＝，结论成立． 1＋x x ②假设n＝k时结论成立，即gk(x)＝.那么，当n＝k＋1时， 1＋kx x x gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝＝，即结论成立． x1＋gk?x?1＋1＋?k＋1?x1＋kx gk?x? 1＋kx x 1＋x ;. '. 由①②可知，结论对n∈N*成立． (2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥x＋1－a 则φ′(x)＝－＝， 1＋x?1＋x?2?1＋x?2 1 a 当a≤1时，φ′(x)≥0(当且仅当x＝0，a＝1时等号成立)，∴φ(x)在[0，＋∞)上单调递增． 又φ(0)＝0，∴φ(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立， ax ∴a≤1时，ln(1＋x)≥恒成立(当且仅当x＝0，a＝1时等号成立)． 1＋x 当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)≤0，∴φ(x)在(0，a－1)上单调递减∴φ(a－1)<φ(0)＝0. 即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥综上可知，a的取值范围是(－∞，1]． 12n (3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋，n－f(n)＝n－ln(n＋1)，比较结果为g(1) 23n＋1＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)． 证明如下： 111 方法一：上述不等式等价于＋＋…＋ 23n＋1 n＋111* 在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>，x>0.令x＝，n∈N，则 x 下面用数学归纳法证明． 1 ①当n＝1时， 2 111 ②假设当n＝k时结论成立，即＋＋…＋ 23k＋1 k＋211111 那么，当n＝k＋1时，＋＋…＋＋ 23k＋1k＋2k＋2k＋1即结论成立． 由①②可知，结论对n∈N*成立． 不恒成立， 1＋xax ax 恒成立．设φ(x)＝ln(1＋x)－(x≥0)， 1＋x1＋xax ;.
导数练习题(含答案)
