2019年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学·参考答案
1．解析 因为A???1,0,1,2?，B?{x|x2?1}?{x|?1?x?1}， 所以A?B???1,0,1?.故选A． 2．解析 由z(1?i)?2i，得z?
2i2i(1?i)??1?i．故选D． 1?i2
3．解析 设两位男同学分别为B1，B2，两位女同学分别为G1，G2. 根据列举法，两位男同学跟两位女同学排成一列可能会出现的情况有：B1B2G1G2，B1B2G2G1，B1G1B2G2，
B1G1G2B2，B1G2G1B2，B1G2B2G1，B2B1G1G2，B2B1G2G1，B2G1B1G2，B2G2B1G1，B2G1G2B1，B2G2G1B1，G1G2B1B2，G1B1G2B2，G1B2G2B1，G1B1B2G2，G1B2B1G2，G1G2B2B1，G2G1B1B2，G2G1B2B1，G2B1G1B2，G2B1B2G1，G2B2B1G1，G2B2G1B1，共
24种. 其中，两位女同学相邻的情况有：B1B2G1G2，B1B2G2G1，B1G1G2B2，B1G2G1B2，
B2B1G1G2，B2B1G2G1，B2G1G2B1，B2G2G1B1，G1G2B1B2，G1G2B2B1，G2G1B1B2，G2G1B2B1，共12种. 根据古典概型计算公式可得两位女同学相邻的概率为P?选D.
4．解析 由题意可作出维恩图如图所示：
121?. 故242
所以该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，
则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：选C．
5．解析 解法一：函数f?x??2sinx?sin2x在?0,2π?的零点个数， 即2sinx?sin2x?0在区间?0,2π?的根个数，
70
?0.7．故100
1即2sinx?sin2x，令h?x??2sinx和g?x??sin2x， 作出两函数在区间?0,2π?的图像如图所示，由图可知，
h?x??2sinx和g?x??sin2x在区间?0,2π?的图像的交点个数为3个．故选B．
解法二：因为f?x??2sinx?sin2x?2sinx?1?cosx?,x??0,2π?，令f?x??0，得
2sinx?1?cosx??0，即sinx?0或1?cosx?0，解得x?0,π,2π. 所以f?x??2sinx?sin2x在?0,2π?的零点个数为3个. 故选B.
6．解析 设等比数列{an}的公比为q(q?0)，则由前4项和为15，且a5?3a3?4a1，有
?a1?1?q4??a1?1??15. 所以a3?22?4. 故选C． ，解得??1?q?q?2?42
?a1q?3a1q?4a1
7．解析 y?aex?xlnx的导数为y'?aex?lnx?1，
又函数y?ae?xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y?2x?b， 可得ae?0?1?2，解得a?e?1，
又切点为(1,1)，可得1?2?b，即b??1. 故选D． 8．解析 如图所示，联结BE，BD.
因为点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD?平面ABCD，M是线段ED的中点，所以BM?平面BDE，EN?平面BDE，因为BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，直线BM，EN是相交直线，设DE?a，则BD?x
2a，BE?
3252a?a?2a， 441所以BM?
32126a?a?a， a，EN?442所以BM?EN．故选B．
9．解析 第一次执行循环体后，s?1，x?再次执行循环体后，s?1?
1
，不满足退出循环的条件x?0.01； 2
11
，x?2，不满足退出循环的条件x?0.01； 22111
再次执行循环体后，s?1??2，x?3，不满足退出循环的条件x?0.01；
222
……
11
?0.01?0.01，可得： ，而2627
1111
当s?1??2???6，x?7，此时，满足退出循环的条件x?0.01，
22221111
输出s?1??2??6?2?6．故选C．
2222
由于
x2y2
10．解析 如图所示，不妨设F为双曲线C:??1的右焦点，P为第一象限点．
45
由双曲线方程可得，a2?4，b2?5，则c?
a2?b2?3，
则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为x2?y2?9．
?x2?y2?9
5?
联立?x2y2，解得y??．
3?1??
?45
则S△OPF?155??3?．故选B． 232?x?y?6
11．解析 作出不等式组?的平面区域如图阴影部分所示.
2x?y?0?
由图可知，命题p:??x,y??D,2x?y?9；是真命题，则?p假命题；
1命题q:??x,y??D,2x?y?12是假命题，则￢??真命题； 所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：
?p?q真；??p?q假；?p??q真；??p??q假； 故答案??正确．故选A．
12．解析 f?x?是定义域为R的偶函数，所以f(log3因为log34?log33?1，
1
)?f(log34)， 4
?32
0?2
?
32
?2
?
23
?2?1
?32
0
，所以0?2?23
?2?
23
?log34，
又f?x?在(0,??)上单调递减，所以f(2)?f(2)?f(log3). 故选C．
14
13．?2 解析 a?b=2???8??2?6??4，a?22?22?22， 10b?
??8?2?6?10，cosa,b?
2?42． ??1022?10a7?a313?5??2， 7?34
14．100 解析 在等差数列?an?中，由a3?5，a7?13，得d?所以a1?a3?2d?5?4?1，则S10?10?1?10?9?2?100． 222xym,n?0，15．(3,15) 解析 设M(m,n)，椭圆C：C:??1的a?6，b?25，3620
c?2，e?
c2
?，由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|?|MF2|， a3
△MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|?2c或|MF2|?2c，
即有6?
2
m?8，即m?3，n?15； 3
2
6?m?8，即m??3?0，舍去．可得M(3,15).
3
16．118.8 解析 该模型为长方体ABCD?A1B1C1D1，挖去四棱锥O?EFGH后所得的几
1何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB?BC?6cm，
AA1?4cm，所以该模型体积为：
11
VABCD?A1B1C1D1?VO?EFGH?6?6?4??(4?6?4??3?2)?3?144?12?132(cm3)，
323D打印所用原料密度因为为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，
所以制作该模型所需原料的质量为：132?0.9?118.8(g)． 17．解析（1）由已知得0.70?a?0.20?0.15，故a?0.35． b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00． 18．解析（1）由题设及正弦定理得sinAsin
A?C
?sinBsinA． 2
因为sinA?0，所以sin
A?C
?sinB． 2
A?CBBBB
?cos，故cos?2sincos． 22222
由A?B?C?180?，可得sin
因为cos
BB1
?0，故sin?，因此B?60?． 222
3a． 4（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC?
sin?120??C?csinA31由正弦定理得a????．
sinCsinC2tanC2
由于△ABC为锐角三角形，故0??A?90?，0??C?90?，由（1）知A?C?120?，所以30??C?90?，故
133?a?2，从而． ?S△ABC?282?33?因此，△ABC面积的取值范围是??8,2??．
??
1
2019高考卷-2019年全国III卷文科答案 - 图文
