微分方程例题选解
1. 求解微分方程xlnxdy?(y?lnx)dx?0,y|x?e?解：原方程化为
3。 2dy11?y?， dxxlnxx11??dxdx1?通解为 y?exlnx[?exlnxdx?C]
x1lnx112?[?dx?C]?[lnx?C] lnxxlnx2311由x?e，y?，得C?1，所求特解为 y??lnx。
2lnx2
222. 求解微分方程xy'?xy?y?0。
解：令y?ux，y??u?xu?，原方程化为 u?xu??u?u， 分离变量得 ?积分得
2du1?dx， 2xu1?lnx?C， u原方程的通解为 y?x。
lnx?C
32233. 求解微分方程(x?xy)dx?(xy?y)dy。
解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。 原方程化为 xdx?xydx?xydy?ydy?0， 由 xdx?xydx?xydy?ydy
32233223141221dx?(ydx?x2dy2)?dy4 4241?d(x4?2x2y2?y4)， 44224得 d(x?2xy?y)?0，
4224原方程的通解为 x?2xy?y?C。
?注：此题也为齐次方程。
24. 求解微分方程y''?1?(y')。 解：设p?y?，则y???分离变量得
dpdp，原方程化为 ?1?p2， dxdxdp?dx，积分得 arctanp?x?C1，
1?p2于是 y??p?tan(x?C1)， 积分得通解为 y??lncos(x?C1)?C2。
5. 求解微分方程y''?2y'?2y?0。
解：特征方程为 r?2r?2?0，特征根为 r?1?i，
x通解为y?e(C1cosx?C2sinx)。
1
2
2x6. 求解微分方程y''?y'?(2x?1)e。
解：对应齐次方程的特征方程为r?r?0，特征根为r1?0，r2?1， 齐次通解为 Y?C1?C2e。 可设待定特解 y*?(ax?b)e2xx2，代入原方程得
2x 3a?2(ax?b)?2x?1，
比较系数得 a?1，b??1，从而y*?(x?1)e原方程的通解为 y?C1?C2e?(x?1)e
x7. 求解微分方程y''?y?4xe。
2x2x，
。
解：对应齐次方程的特征方程为r?1?0，特征根为r1?1，r2??1， 齐次通解为 Y?C1e?C2ex?x。
x 可设待定特解 y*?x(ax?b)e，代入原方程得 2a?2(2ax?b)?4x，
比较系数得 a?1，b??1，从而y*?(x?x)e， 原方程的通解为 y?C1e?C2e?(x?x)e。
3x8. 求解微分方程y''?6y'?9y?e(6x?2)。
解：对应齐次方程的特征方程为r?6r?9?0，特征根为r1?r2?3， 齐次通解为 Y?(C1?C2x)e。 可设待定特解 y*?x(ax?b)e23x3xx?x2x2x2，代入原方程得
6ax?2b?6x?2，
323x比较系数得 a?1，b?1，从而y*?(x?x)e，
原方程的通解为 y?(C1?C2x)e?(x?x)e。
9. 利用“凑微分”的方法求解微分方程(xy?y?siny)dx?(x?cosy)dy?0。 解： 由 (xy?y?siny)dx?(x?cosy)dy
3x323x?xydx?ydx?sinydx?xdy?cosydy
?xydx?sinydx?(ydx?xdy)?dsiny
?(xy?siny)dx?d(xy?siny)，
d(xy?siny)??dx， 原方程化为
xy?siny积分得 ln(xy?siny)??x?lnC，
?x从而通解为 xy?siny?Ce。
10. 选择适当的变量代换求解微分方程x?yy??(x?y?1)tanx。 解：设u?22x2?y2，则u??x?yy?，原方程化为 uu??(u?1)tanx， u1)du?tanxdx， u?1积分得 u?ln(u?1)??lncosx?C，
分离变量得 (1? 2
原方程的通解为x2?y2?ln(x2?y2?1)?lncosx?C。 11. 利用代换y?ux将方程y??cosx?2y?sinx?3ycosx?e化简，并求出原方程的通cosx解。 解：由u?ycosx，得
u??y?cosx?ysinx，
u???y??cosx?2y?sinx?ycosx。
x原方程化为 u???4u?e，
ex其通解为 u?C1cos2x?C2sin2x?，
5cos2xex?2C2sinx?原方程的通解为 y?C1。 cosx5cosx
x2xx12. 设二阶常系数线性微分方程y???ay??by?ce的一个特解为y?e?(1?x)e。试确定常数a,b,c，并求该方程的通解。
解：由题设特解知原方程的特征根为1和2，所以特征方程为
(r?1)(r?2)?0，即r2?3r?2?0，
于是 a??3，b?2。
x将y1?xe代入方程，得
(x?2)e?3(x?1)e?2xe?ce， c??1。
原方程的通解为 y?C1e?C2e?xe。
x2x?xx2xx?x13. 已知y1?xe?e，y2?xe?e，y3?xe?e?e是某二阶常系数非齐次线
性微分方程的三个解，求此微分方程。 解：由题设特解知原方程的通解为y?C1e所以特征方程为 故可设此微分方程为
?xx2xxxxxx?C2e2x?xex，特征根为?1和2，
(r?1)(r?2)?0，即r2?r?2?0，
y???y??2y?f(x)，
xx将y?xe代入方程，得f(x)?(1?2x)e，
x故所求方程为y???y??2y?(1?2x)e。
?2u?2u14. 设u?f(r)满足方程2?2?4，其中r?x2?y2，求f(r)。
?x?y?2ux2y2?ux?2uy2x2?f?(r)，2?2f??(r)?3f?(r)，2?2f??(r)?3f?(r)， 解：
?xrr?xr?yrr?2u?2u1????f(r)?f?(r)?4， 22r?x?yf?(r)?e??rdr1[?4e?rdr11dr?C1]?(2r2?C1)，
r1f(r)??(2r2?C1)dr?r2?C1lnr?C2。
r
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