微分方程例题选解
1. 求解微分方程xlnxdy?(y?lnx)dx?0,y|x?e?解:原方程化为
3。 2dy11?y?, dxxlnxx11??dxdx1?通解为 y?exlnx[?exlnxdx?C]
x1lnx112?[?dx?C]?[lnx?C] lnxxlnx2311由x?e,y?,得C?1,所求特解为 y??lnx。
2lnx2
222. 求解微分方程xy'?xy?y?0。
解:令y?ux,y??u?xu?,原方程化为 u?xu??u?u, 分离变量得 ?积分得
2du1?dx, 2xu1?lnx?C, u原方程的通解为 y?x。
lnx?C
32233. 求解微分方程(x?xy)dx?(xy?y)dy。
解:此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。 原方程化为 xdx?xydx?xydy?ydy?0, 由 xdx?xydx?xydy?ydy
32233223141221dx?(ydx?x2dy2)?dy4 4241?d(x4?2x2y2?y4), 44224得 d(x?2xy?y)?0,
4224原方程的通解为 x?2xy?y?C。
?注:此题也为齐次方程。
24. 求解微分方程y''?1?(y')。 解:设p?y?,则y???分离变量得
dpdp,原方程化为 ?1?p2, dxdxdp?dx,积分得 arctanp?x?C1,
1?p2于是 y??p?tan(x?C1), 积分得通解为 y??lncos(x?C1)?C2。
5. 求解微分方程y''?2y'?2y?0。
解:特征方程为 r?2r?2?0,特征根为 r?1?i,
x通解为y?e(C1cosx?C2sinx)。
1
2
2x6. 求解微分方程y''?y'?(2x?1)e。
解:对应齐次方程的特征方程为r?r?0,特征根为r1?0,r2?1, 齐次通解为 Y?C1?C2e。 可设待定特解 y*?(ax?b)e2xx2,代入原方程得
2x 3a?2(ax?b)?2x?1,
比较系数得 a?1,b??1,从而y*?(x?1)e原方程的通解为 y?C1?C2e?(x?1)e
x7. 求解微分方程y''?y?4xe。
2x2x,
。
解:对应齐次方程的特征方程为r?1?0,特征根为r1?1,r2??1, 齐次通解为 Y?C1e?C2ex?x。
x 可设待定特解 y*?x(ax?b)e,代入原方程得 2a?2(2ax?b)?4x,
比较系数得 a?1,b??1,从而y*?(x?x)e, 原方程的通解为 y?C1e?C2e?(x?x)e。
3x8. 求解微分方程y''?6y'?9y?e(6x?2)。
解:对应齐次方程的特征方程为r?6r?9?0,特征根为r1?r2?3, 齐次通解为 Y?(C1?C2x)e。 可设待定特解 y*?x(ax?b)e23x3xx?x2x2x2,代入原方程得
6ax?2b?6x?2,
323x比较系数得 a?1,b?1,从而y*?(x?x)e,
原方程的通解为 y?(C1?C2x)e?(x?x)e。
9. 利用“凑微分”的方法求解微分方程(xy?y?siny)dx?(x?cosy)dy?0。 解: 由 (xy?y?siny)dx?(x?cosy)dy
3x323x?xydx?ydx?sinydx?xdy?cosydy
?xydx?sinydx?(ydx?xdy)?dsiny
?(xy?siny)dx?d(xy?siny),
d(xy?siny)??dx, 原方程化为
xy?siny积分得 ln(xy?siny)??x?lnC,
?x从而通解为 xy?siny?Ce。
10. 选择适当的变量代换求解微分方程x?yy??(x?y?1)tanx。 解:设u?22x2?y2,则u??x?yy?,原方程化为 uu??(u?1)tanx, u1)du?tanxdx, u?1积分得 u?ln(u?1)??lncosx?C,
分离变量得 (1? 2
原方程的通解为x2?y2?ln(x2?y2?1)?lncosx?C。 11. 利用代换y?ux将方程y??cosx?2y?sinx?3ycosx?e化简,并求出原方程的通cosx解。 解:由u?ycosx,得
u??y?cosx?ysinx,
u???y??cosx?2y?sinx?ycosx。
x原方程化为 u???4u?e,
ex其通解为 u?C1cos2x?C2sin2x?,
5cos2xex?2C2sinx?原方程的通解为 y?C1。 cosx5cosx
x2xx12. 设二阶常系数线性微分方程y???ay??by?ce的一个特解为y?e?(1?x)e。试确定常数a,b,c,并求该方程的通解。
解:由题设特解知原方程的特征根为1和2,所以特征方程为
(r?1)(r?2)?0,即r2?3r?2?0,
于是 a??3,b?2。
x将y1?xe代入方程,得
(x?2)e?3(x?1)e?2xe?ce, c??1。
原方程的通解为 y?C1e?C2e?xe。
x2x?xx2xx?x13. 已知y1?xe?e,y2?xe?e,y3?xe?e?e是某二阶常系数非齐次线
性微分方程的三个解,求此微分方程。 解:由题设特解知原方程的通解为y?C1e所以特征方程为 故可设此微分方程为
?xx2xxxxxx?C2e2x?xex,特征根为?1和2,
(r?1)(r?2)?0,即r2?r?2?0,
y???y??2y?f(x),
xx将y?xe代入方程,得f(x)?(1?2x)e,
x故所求方程为y???y??2y?(1?2x)e。
?2u?2u14. 设u?f(r)满足方程2?2?4,其中r?x2?y2,求f(r)。
?x?y?2ux2y2?ux?2uy2x2?f?(r),2?2f??(r)?3f?(r),2?2f??(r)?3f?(r), 解:
?xrr?xr?yrr?2u?2u1????f(r)?f?(r)?4, 22r?x?yf?(r)?e??rdr1[?4e?rdr11dr?C1]?(2r2?C1),
r1f(r)??(2r2?C1)dr?r2?C1lnr?C2。
r
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