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◇导数专题
目 录
一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31）
（一）作差证明不等式
（二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式
四、不等式恒成立求字母范围 （51）
（一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数
（三）恒成立之讨论字母范围
五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84）
七、导数结合三角函数 （85）
书中常用结论(zhongdianzhangwo) ⑴sinx?x,x?(0,?)，变形即为点连线斜率小于1. ⑵ex?x?1 ⑶x?ln(x?1) ⑷lnx?x?ex,x?0.
sinx?1，其几何意义为y?sinx,x?(0,?)上的的点与原x一、导数单调性、极值、最值的直接应用
1. （切线）设函数f(x)?x2?a.
（1）当a?1时，求函数g(x)?xf(x)在区间[0,1]上的最小值；
（2）当a?0时，曲线y?f(x)在点P(x1,f(x1))(x1?a)处的切线为l，l与x轴交于点A(x2,0)求证：x1?x2?a.
解：(1)a?1时，g(x)?x3?x，由g?(x)?3x2?1?0，解得x?? g?(x)的变化情况如下表： 0 - 0 + 1 3. 31
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所以当x?0 ↘ 极小值 ↗ 0 3233时，g(x)有最小值g()??. 393(2)证明：曲线y?f(x)在点P(x1,2x12?a)处的切线斜率k?f?(x1)?2x1
曲线y?f(x)在点P处的切线方程为y?(2x12?a)?2x1(x?x1). x12?ax12?aa?x12?x1? 令y?0，得x2?，∴x2?x1?
2x12x12x1a?x12?0，即x2?x1. ∵x1?a，∴
2x1x1x12?ax1xaaa???21??a 又∵?，∴x2?22x12x122x122x1 所以x1?x2?a.
2. （2009天津理20，极值比较讨论）
已知函数f(x)?(x2?ax?2a2?3a)ex(x?R),其中a?R ⑴当a?0时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率； ⑵当a?2时，求函数f(x)的单调区间与极值. 3解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。
⑴当a?0时，f(x)?x2ex，f'(x)?(x2?2x)ex，故f'(1)?3e. ⑵f'(x)?x2?(a?2)x?2a2?4aex. 以下分两种情况讨论： ①若a＞
??2，则?2a＜a?2.当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： 3 + ↗ 0 极大值 — ↘ 0 极小值 + ↗ ②若a＜
2，则?2a＞a?2，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： 3 + ↗ 0 极大值 — ↘ 0 极小值 + ↗ 12x?2ax,g(x)?3a2lnx?b. 2⑴设两曲线y?f(x)与y?g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同，若a?0，试建立b 关于a的函数关系式，并求b的最大值；
⑵若b?[0,2],h(x)?f(x)?g(x)?(2a?b)x在(0,4)上为单调函数，求a的取值范围。
3. 已知函数f(x)?4. （最值，按区间端点讨论）
a. x(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；
已知函数f(x)=lnx－
2
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(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为
3，求a的值. 21ax?a. ＋2＝2xxx解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x)＝∵a>0，∴f ′(x)>0，故f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知：f ′(x)＝
x?a， x233，∴a＝－ (舍去). 22①若a≥－1，则x＋a≥0，即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数， ∴f(x)min＝f(1)＝－a＝
②若a≤－e，则x＋a≤0，即f ′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数， ∴f(x)min＝f(e)＝1－
ea3＝，∴a＝－(舍去).
2e2③若－e 当1 5. （最值直接应用）已知函数f(x)?x?（Ⅱ）求f(x)的单调区间； （Ⅲ）若f(x)在[0,??)上的最大值是0，求a的取值范围. 3?a＝－e. 212ax?ln(1?x)，其中a?R. 2（Ⅰ）若x?2是f(x)的极值点，求a的值； x(1?a?ax),x?(?1,??). x?111依题意，令f?(2)?0，解得 a?. 经检验，a?时，符合题意. 33x（Ⅱ）解：① 当a?0时，f?(x)?. x?1故f(x)的单调增区间是(0,??)；单调减区间是(?1,0). 1② 当a?0时，令f?(x)?0，得x1?0，或x2??1. a解：（Ⅰ）f?(x)?当0?a?1时，f(x)与f?(x)的情况如下： ↘ ↗ ↘ 所以，f(x)的单调增区间是(0,11?1)；单调减区间是(?1,0)和(?1,??). aa3 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 当a?1时，f(x)的单调减区间是(?1,??). 当a?1时，?1?x2?0，f(x)与f?(x)的情况如下： ↘ ↗ ↘ 1?1)和(0,??). a③ 当a?0时，f(x)的单调增区间是(0,??)；单调减区间是(?1,0). 综上，当a?0时，f(x)的增区间是(0,??)，减区间是(?1,0)； 11当0?a?1时，f(x)的增区间是(0,?1)，减区间是(?1,0)和(?1,??)； aa当a?1时，f(x)的减区间是(?1,??)； 11当a?1时，f(x)的增区间是(?1,0)；减区间是(?1,?1)和(0,??). aa（Ⅲ）由（Ⅱ）知 a?0时，f(x)在(0,??)上单调递增，由f(0)?0，知不合题意. 1当0?a?1时，f(x)在(0,??)的最大值是f(?1)， a1由f(?1)?f(0)?0，知不合题意. a当a?1时，f(x)在(0,??)单调递减， 可得f(x)在[0,??)上的最大值是f(0)?0，符合题意. 所以，f(x)在[0,??)上的最大值是0时，a的取值范围是[1,??). 所以，f(x)的单调增区间是(?1,0)；单调减区间是(?1,6. （2010北京理数18） 1ax2x(k≥0). 2(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求f(x)的单调区间. 1?1?2x 解：（I）当k?2时，f(x)?ln(1?x)?x?x2，f'(x)?1?x3由于f(1)?ln2，f'(1)?， 23所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?ln2?(x?1) 2 即3x?2y?2ln2?3?0 x(kx?k?1)（II）f'(x)?，x?(?1,??). 1?xx. 当k?0时，f'(x)??1?x已知函数f(x)=ln(1+x)-x+ 4 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 所以，在区间(?1,0)上，f'(x)?0；在区间(0,??)上，f'(x)?0. 故f(x)得单调递增区间是(?1,0)，单调递减区间是(0,??). x(kx?k?1)1?k?0，得x1?0，x2??0 1?xk1?k1?k)上，f'(x)?0 ,??)上，f'(x)?0；在区间(0,所以，在区间(?1,0)和(kk1?k1?k). ,??)，单调递减区间是(0,故f(x)得单调递增区间是(?1,0)和(kkx2 故f(x)得单调递增区间是(?1,??). 当k?1时，f'(x)?1?xx(kx?k?1)1?k?0，得x1??(?1,0)，x2?0. 当k?1时，f'(x)?1?xk1?k1?k)和(0,??)上，f'(x)?0；在区间(,0)上，f'(x)?0 所以没在区间(?1,kk1?k1?k)和(0,??)，单调递减区间是(,0) 故f(x)得单调递增区间是(?1,kk当0?k?1时，由f'(x)?7. （2010山东文21，单调性） 1?a?1(a?R) x ⑴当a??1时，求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程； 1 ⑵当a?时，讨论f(x)的单调性. 2解：⑴x?y?ln2?0 1?a?1， ⑵因为 f(x)?lnx?ax?x1a?1ax2?x?1?a 所以 f'(x)??a?2??，x?(0,??)， 2xxx 令 g(x)?ax2?x?1?a,x?(0,??), 已知函数f(x)?lnx?ax?8. (是一道设计巧妙的好题，同时用到e底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零 点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密) 已知函数f(x)?lnx,g(x)?e. ⑴若函数φ (x) = f (x)－ xx+1，求函数φ (x)的单调区间； x-12⑵设直线l为函数f (x)的图象上一点A(x0，f (x0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切． x?112x?1x?1?lnx?解：（Ⅰ） ?(x)?f?x??，???x???． ?22x?1x?1x?x?1?x??x?1?，???． ∵x?0且x?1，∴???x??0∴函数?(x)的单调递增区间为?0,1?和?1 （Ⅱ）∵f?(x)?11 ，∴f?(x0)?， x0x5
2016高考导数压轴题终极解答
