二重积分的计算小结
一、知识要点回顾
1．二重积分的定义；
2.二重积分的几何意义及其物理模型。 二重积分
??(?)f(x,y)d?的几何意义就是以???为底，以(s)为顶的曲顶柱体的
体积，其物理模型就是一个曲顶柱体。 3.二重积分在直角坐标系下的计算
（1）若积分区域D是由两条直线x=a,x=b,以及两条曲线y= ?1(x),y= ?2(x) (?1(x)
??2(x),a?x?b)所围成，则
(D)??f(x,y)dxdy =?dx?a
b???x??1(x)f(x,y)dy
（2）若区域D是由两条直线y=c,y=d以及两条曲线x=?1(y),x=?2(y)(?1(y) ??2(y), c?y?d)所围成，则
??Df(x,y)dxdy??dcdy????y????y?f(x,y)dx
4.极坐标下二重积分的计算法
x=rcos?,y=rsin?
如果区域D是由从极点出发的两条射线???，???（???）和两条曲线
r?r1(?),r?r2(?) （r1(?)?r2(?)）所围成，则
??Df(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rd?dr
D ???d???r2(?)r1(?)f(rcos?,rsin?)rdr
5．曲线坐标下二重积分的计算法
设函数x?x(u,v),y?y(u,v)在直角坐标平面uO?v上的封闭区域D?上连续，有一阶连续偏导数，而且雅克比行列式
?(x)?(x,y)?(u)? J??(y)?(u,v)?(u)则
?(x)?(v) ?(y)?(v)??Df(x,y)dxdy???Df(x(u,v),y(u,v))Jdudv
二．二重积分的计算举例
sinydxdy??y1.． 计算二重积分D，其中D为由直线y?x2x?y与曲线所围成的区域．
解：画出积分域如图所示 解方程组
图4
?x?y2,x?y
2解得图中的两个交点为(0,0),(1,1)，D可表示为D={(x,y)|0?y?1,y?x?y}， 于是
1ysiny1siny2sinydxdy?dydx?(y?y)dy?????0y20yyyD
??sinydy??ysinydy?1?sin1.0011
2.计算二重积分??sin(?Dx?y)dxdy的值，其中积分区域为x?y2222D?{(x,y)|1?x?2y2?4}。
解：由对称性可以只考虑第一象限的积分域 采用极坐标。则积分区域变为
D?{(?,?)|1???2,0?????} 于是
??sin(?Dxy)dxdyx?y2?222??? ?4sin(??)D?21?d?d?
??2?d??sin(??)d?2?4?2(??)d?0????43，计算二重积分的封闭区域。
解： 如图1，由题意，可设
u?y?x , v?y?x 则可得
x?D??eDy?xy?xdxdy的值的大小，其中D是由x轴，y轴以及x+y=2所围成
yx?y?2v?uv?u，y? 图1 22o vxv?2由x?0?u?v;由y?0?u??v;由x?y?2?v?2;所以积分区域变为图2中的封闭区域，从而
u??vD?o12??1,122u?vu 图2
?(x,y)?1J?? 12?(u,v)2所以
1???De??D?e2dvdu
12vu12?1 ??dv?evdu??(e?e?1)vdv?e?e20?v20uv2??xy,当1?x?2,0?y?x 4．设f(x,y)??，求
??0其他y?xy?xdxdy???Df(x,y)dxdy，其中D?{(x,y)|x?解：积分区域为圆
2y2?2x}。
(x?1)y?22?1以外的部分
设图中阴影区域为 D0={(x,y)|1?x?2,2x?于是
图6
x2 ?y?x}
??Df(x,y)dxdyD0D?D0???f(x,y)dxdy??????21D0f(x,y)dxdyxydxdy???x2x?22D?D00dxdy
??dx?????
212x2xydy53xx2122[x?(2x?x)]dx2249243(x?x)dx??(x?x)dx?(x?x)?154120221
R5．计算二次积分
I??20e?y2dy?e0y?x2dx??Re2R?y2dy?R2?y20e?xdx．
2?x分析 若直接计算题目所给的二次积分，将首先遇到求e的原函数的问题，它是无法
2计算的，因此，应将二次积分先还原为二重积分，再根据积分区域的特点，选择适当的方法．
解 由所给的二次积分，我们得积分区域D?D1?D2，其中
?RR??y?R,?0?y??,D1:?22 D2:?22??0?x?R?y.?0?x?y;?
?D是一个中心角为4，半径为R的扇形（图5）．因此可以采用极坐
y D2 标计算，在极坐标系下，有
R R 2 D1 x ???????,D:?420???R. ??因此
O 图5
I???e?(xD2?y2)dxdy???e???d?d?D22
????2d???e??d??(40
R??)??e??24?2??12???R2?(1?e).??08
R小结
㈠计算在直角坐标系下二重积分的值的过程中，应正确选择积分的形式，是先对X积分还是先对Y积分，选择正确的积分形式可以提高解题的效率和准确度。 ㈡ 计算极坐标系下二重积分值的步骤： ① 首先把积分区域的边界方程用极坐标表示； ②确定?,?的范围，即在极坐标系下表示积分区域；
③ 用?cos?,?sin?分别代换被积函数中的x,y，并把面积元素用?d?d?替代．
㈢ 计算二重积分时，要注意利用积分区域关于坐标轴的对称性，同时被积函数关于某
相应变量的奇偶性简化运算．
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二重积分的计算小结
