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二重积分的计算小结 

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二重积分的计算小结

一、知识要点回顾

1.二重积分的定义;

2.二重积分的几何意义及其物理模型。 二重积分

??(?)f(x,y)d?的几何意义就是以???为底,以(s)为顶的曲顶柱体的

体积,其物理模型就是一个曲顶柱体。 3.二重积分在直角坐标系下的计算

(1)若积分区域D是由两条直线x=a,x=b,以及两条曲线y= ?1(x),y= ?2(x) (?1(x)

??2(x),a?x?b)所围成,则

(D)??f(x,y)dxdy =?dx?a

b???x??1(x)f(x,y)dy

(2)若区域D是由两条直线y=c,y=d以及两条曲线x=?1(y),x=?2(y)(?1(y) ??2(y), c?y?d)所围成,则

??Df(x,y)dxdy??dcdy????y????y?f(x,y)dx

4.极坐标下二重积分的计算法

x=rcos?,y=rsin?

如果区域D是由从极点出发的两条射线???,???(???)和两条曲线

r?r1(?),r?r2(?) (r1(?)?r2(?))所围成,则

??Df(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rd?dr

D ???d???r2(?)r1(?)f(rcos?,rsin?)rdr

5.曲线坐标下二重积分的计算法

设函数x?x(u,v),y?y(u,v)在直角坐标平面uO?v上的封闭区域D?上连续,有一阶连续偏导数,而且雅克比行列式

?(x)?(x,y)?(u)? J??(y)?(u,v)?(u)则

?(x)?(v) ?(y)?(v)??Df(x,y)dxdy???Df(x(u,v),y(u,v))Jdudv

二.二重积分的计算举例

sinydxdy??y1.. 计算二重积分D,其中D为由直线y?x2x?y与曲线所围成的区域.

解:画出积分域如图所示 解方程组

图4

?x?y2,x?y

2解得图中的两个交点为(0,0),(1,1),D可表示为D={(x,y)|0?y?1,y?x?y}, 于是

1ysiny1siny2sinydxdy?dydx?(y?y)dy?????0y20yyyD

??sinydy??ysinydy?1?sin1.0011

2.计算二重积分??sin(?Dx?y)dxdy的值,其中积分区域为x?y2222D?{(x,y)|1?x?2y2?4}。

解:由对称性可以只考虑第一象限的积分域 采用极坐标。则积分区域变为

D?{(?,?)|1???2,0?????} 于是

??sin(?Dxy)dxdyx?y2?222??? ?4sin(??)D?21?d?d?

??2?d??sin(??)d?2?4?2(??)d?0????43,计算二重积分的封闭区域。

解: 如图1,由题意,可设

u?y?x , v?y?x 则可得

x?D??eDy?xy?xdxdy的值的大小,其中D是由x轴,y轴以及x+y=2所围成

yx?y?2v?uv?u,y? 图1 22o vxv?2由x?0?u?v;由y?0?u??v;由x?y?2?v?2;所以积分区域变为图2中的封闭区域,从而

u??vD?o12??1,122u?vu 图2

?(x,y)?1J?? 12?(u,v)2所以

1???De??D?e2dvdu

12vu12?1 ??dv?evdu??(e?e?1)vdv?e?e20?v20uv2??xy,当1?x?2,0?y?x 4.设f(x,y)??,求

??0其他y?xy?xdxdy???Df(x,y)dxdy,其中D?{(x,y)|x?解:积分区域为圆

2y2?2x}。

(x?1)y?22?1以外的部分

设图中阴影区域为 D0={(x,y)|1?x?2,2x?于是

图6

x2 ?y?x}

??Df(x,y)dxdyD0D?D0???f(x,y)dxdy??????21D0f(x,y)dxdyxydxdy???x2x?22D?D00dxdy

??dx?????

212x2xydy53xx2122[x?(2x?x)]dx2249243(x?x)dx??(x?x)dx?(x?x)?154120241

R5.计算二次积分

I??20e?y2dy?e0y?x2dx??Re2R?y2dy?R2?y20e?xdx.

2?x分析 若直接计算题目所给的二次积分,将首先遇到求e的原函数的问题,它是无法

2计算的,因此,应将二次积分先还原为二重积分,再根据积分区域的特点,选择适当的方法.

解 由所给的二次积分,我们得积分区域D?D1?D2,其中

?RR??y?R,?0?y??,D1:?22 D2:?22??0?x?R?y.?0?x?y;?

?D是一个中心角为4,半径为R的扇形(图5).因此可以采用极坐

y D2 标计算,在极坐标系下,有

R R 2 D1 x ???????,D:?420???R. ??因此

O 图5

I???e?(xD2?y2)dxdy???e???d?d?D22

????2d???e??d??(40

R??)??e??24?2??12???R2?(1?e).??08

R小结

㈠计算在直角坐标系下二重积分的值的过程中,应正确选择积分的形式,是先对X积分还是先对Y积分,选择正确的积分形式可以提高解题的效率和准确度。 ㈡ 计算极坐标系下二重积分值的步骤: ① 首先把积分区域的边界方程用极坐标表示; ②确定?,?的范围,即在极坐标系下表示积分区域;

③ 用?cos?,?sin?分别代换被积函数中的x,y,并把面积元素用?d?d?替代.

㈢ 计算二重积分时,要注意利用积分区域关于坐标轴的对称性,同时被积函数关于某

相应变量的奇偶性简化运算.

二重积分的计算小结 

二重积分的计算小结一、知识要点回顾1.二重积分的定义;2.二重积分的几何意义及其物理模型。二重积分??(?)f(x,y)d?的几何意义就是以???为底,以(s)为顶的曲顶柱体的体积,其物理模型就是一个曲顶柱体。3.二重积分在直角坐标系下的计算(1)若积分区域D是由两条直线x
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