第九节 数学归纳法
知识梳理
数学归纳法：对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性．先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n＝k(k∈N，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．这种证明方法就叫做数学归纳法．
用数学归纳法证明一个与正整数(或自然数)有关的命题的步骤：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(例如n0＝1，n0＝2等)时结论正确； (2)(归纳递推)假设当n＝k(k∈N，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确．
用数学归纳法来证明与正整数有关的命题时，要注意： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉． *
*
基础自测
1．(2013·深圳月考)用数学归纳法证明“2>n＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．2 B．3 C．5 D．6
解析：当n≤4时，2>n＋1不成立，n≥5时，2>n＋1成立，所以取n0＝5. 答案：C
n2
n2
n2
2．下列代数式中(其中k∈N)，能被9整除的是( ) A．6＋6×7 B．2＋7
kkk－1
*
k＋1
C．3 (2＋7) D．2(2＋7
)
解析：(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7)能被9整除．
(2)假设当k＝n(n∈N)命题成立，即3(2＋7)能被9整除，那么3(2＋7＋7)－36，这就说明，当k＝n＋1时命题也成立．故选C.
答案：C
11111133．(2013·厦门质检)观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1
22323721111115
＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为231523312________(n∈N)．
111n234
解析：3＝2－1,7＝2－1,15＝2－1，可猜测：1＋＋＋…＋n>.
232－12111n答案：1＋＋＋…＋n>
232－12
1
4．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过计算a2，a3，a4，猜想an的表
3达式是________．
1111111
解析：a1＝＝，a2＝＝，a3＝＝，猜想an＝.
31×3153×5355×72n－12n＋1答案：an＝
1
2n－1
2n＋1
*
*
knn＋1
)＝21(2
n
1?1?
1．已知f(x)＝?x－?.
2?x?
(1)若x≥1时，证明：f(x)≥ln x； 111
(2)证明：1＋＋＋…＋>ln(n＋1)＋
23n2
n(n≥1)． n＋1
x1111
证明：(1)设g(x)＝f(x)－ln x＝－－ln x(x≥1)，则g′(x)＝2－＋＝
22x2xx2x2－2x＋1x－1
＝22
2x2x2
≥0(x≥1)，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，即当x≥1时，
g(x)≥g(1)＝0，即f(x)≥ln x.
1?1?1?1?(2)(法一)由(1)有f(x)＝?x－?≥ln x(x≥1)，且当x＞1时，?x－?＞ln x.
2?x?2?x?令x＝
1?k＋1k＋11k＋1k1?1??
，有ln ＜－＝?1＋?－?1－?， kk2kk＋12?k??k＋1?
1?1?1
即ln(k＋1)－ln k＜?＋?，k＝1,2,3，…，n.
2?kk＋1?将上述n个不等式依次相加，得 11111
ln(n＋1)＜＋＋＋…＋＋
223n2n＋1111
整理得1＋＋＋…＋＞ln(n＋1)＋
23n2(法二)用数学归纳法证明．
1
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝ln 2＋＜1，不等式成立．
4(2)假设n＝k(k≥1，k∈N)时，不等式成立，即 111k1＋＋＋…＋＞ln(k＋1)＋23k2k＋1
.
＋
1
＝ln(kk＋1
*
.
n. n＋1
1111k那么n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＞ln(k＋1)＋
23kk＋12k＋1＋1)＋
k＋2
. 2k＋1
1?1?
由(1)有f(x)＝?x－?≥ln x(x≥1)．
2?x?令x＝
k＋21?k＋2k＋1?k＋2
－，得?≥ln＝ ?k＋12?k＋1k＋2?k＋1
ln(k＋2)－ln(k＋1)． ∴ln(k＋1)＋
2
k＋2k＋1
≥ln(k＋2)＋.
k＋12k＋2
.
1111k＋1
∴1＋＋＋…＋＋＞ln(k＋2)＋
23kk＋12k＋2这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．
根据(1)，(2)，可知不等式对任何n∈N都成立．
2．(2012·大纲全国卷)函数f(x)＝x－2x－3.定义数列{xn}如下：x1＝2，xn＋1
是过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标．
(1)证明：2≤xn (1)证明：因为f(4)＝4－8－3＝5，故点P(4,5)在函数f(x)的图象上，故由所给出的两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn))可知，直线PQn斜率一定存在. 故有直线PQn的直 2 2 * fxn－5x2n－2xn－8 线方程为y－5＝·(x－4)．令y＝0，可求得－5＝·(x－4)? xn－4xn－4 －54xn＋34xn＋3 ＝x－4?x＝.所以xn＋1＝. xn＋2xn＋2xn＋2 下面用数学归纳法证明2≤xn<3. ①当n＝1时，x1＝2，满足2≤x1<3. ②假设n＝k(k≥1，k∈N)时，2≤xk<3成立，则当n＝k＋1时，xk＋1＝－5 ， xk＋2 由2≤xk<3?xk＋2<5?1< 55115≤?2<≤4－<3即2≤xk＋1<3也成立． xk＋244xk＋2 * 4xk＋3 ＝4xk＋2 综上可知，2≤xn<3对任意正整数恒成立． 下面证明xn 4xn＋34xn＋3－xn－2xn－ 由xn＋1－xn＝－xn＝＝ xn＋2xn＋2由2≤xn<3?0<－(xn－1)＋4≤3， 故有xn＋1－xn>0，即xn 2 2 xn－12＋4 ， xn＋2 综合①②可知，2≤xn 1 3＋4xn. 2＋xn511?11?＝＋1，＋＝5?＋?， bn＋1bnbn＋14?bn4? ?11?3 所以数列?＋?是首项为－，公比为5的等比数列． 4?bn4? 1134n－1 因此＋＝－·5，即bn＝－， n－1 bn443·5＋1所以数列{xn}的通项公式为xn＝3－ 43·5 n－1 (n∈N)． ＋1 * 1． 观察下表： 设第n行的各数之和为Sn，则Sn＝______________. 解析：第一行，1＝1， 第二行，2＋3＋4＝9＝3， 第三行，3＋4＋5＋6＋7＝25＝5， 第四行，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝7， 归纳：第n行的各数之和Sn＝(2n－1). 答案：(2n－1) 2．(2013·揭阳一模改编)已知函数f(x)＝ 2 2 2 2 22 axa为常数)，数列{an}满足：a(x>0， 1＋xa1＝，an＋1＝f(an)，n∈N*. (1)当a＝1时，求数列{an}的通项公式； (2)在(1)的条件下，证明对?n∈N有： * 12 a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝ nn＋5 . 12n＋2n＋3 an11 ，两边取倒数，得－＝1，故数列1＋anan＋1an(1)解析：当a＝1时，an＋1＝f(an)＝
高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第九节数学归纳法 理
