动点轨迹问题
一.专题内容:
求动点P(x, y)的轨迹方程实质上是建立动点的坐标x, y之间的关系式,首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系,选择最便于反映这种联系的坐标形式,寻求适当关系建立等式,常用方法有: (1)等量:根据题意,列出限制动点的条件等式,这种求轨迹的方法叫做等量关..关系法...系法,利用这种方法时,要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉. (2)定义法:如果动点满足的条件符合某种已知曲线(如圆锥曲线)的定义,可根据其定...义用待定系数法求出轨迹方程.
(3)转移代入法:如果所求轨迹上的点P(x, y)是随另一个在已知曲线C:F(x, y)?0上.....的动点M(x0, y0)的变化而变化,且x0, y0能用x, y表示,即x0?f(x, y),y0?g(x, y),则将x0, y0代入已知曲线F(x, y)?0,化简后即为所求的轨迹方程.
(4)参数法:选取适当的参数(如直线斜率k等),分别求出动点坐标x, y与参数的关系...式,得出所求轨迹的参数方程,消去参数即可. (5)交轨法:即求两动直线交点的轨迹,可选取同一个参数,建立两动直线的方程,然后...消去参数,即可(有时还可以由三点共线,斜率相等寻找关系). 注意:轨迹的完备性和纯粹性!一定要检验特殊点和线! 二.相关试题训练
(一)选择、填空题
1.( )已知F1、F2是定点,|F1F2|?8,动点M满足|MF1|?|MF2|?8,则动点M的轨迹是 (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段
2.( )设M(0,5),N(0,?5),?MNP的周长为36,则?MNP的顶点P的轨迹方程是
x2y2x2y2??1(x?0) (B)??1(x?0) (A)
25169144169x2y2x2y2??1(y?0) (D)??1(y?0) (C)
169251691443.与圆x?y?4x?0外切,又与y轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ;
22x2y2??1上运动,则?F1F2P的重心G的轨迹方程4.P在以F1、F2为焦点的双曲线
169是 ;
225.已知圆C:(x?3)?y?16内一点A(3, 0),圆C上一动点Q, AQ的垂直平
x2?y2?1 分线交CQ于P点,则P点的轨迹方程为 .46.△ABC的顶点为A(?5, 0)、B(5, 0),△ABC的内切圆圆心在直线x?3上,则顶
x2y2??1(x?3) 点C的轨迹方程是 ;
916x2y2??1的右支上一点,F1、F2分别是左、右焦点,则△PF1F2变式:若点P为双曲线
916的内切圆圆心的轨迹方程是 ;
x2y2??1上任一点,F1、F2分别是左、右焦点,圆M与线段F1P推广:若点P为椭圆
259的延长线、线段PF2及x轴分别相切,则圆心M的轨迹是 ;
7.已知动点M到定点A(3,0)的距离比到直线x?4?0的距离少1,则点M的轨迹方程是 .y?12x
8.抛物线y?2x的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是 .
22k2kx?(y?)
849.过抛物线y?4x的焦点F作直线与抛物线交于P、Q两点,当此直线绕焦点F旋转时, 弦PQ中点的轨迹方程为 . 解法分析:解法1 当直线PQ的斜率存在时,
设PQ所在直线方程为 y?k(x?1)与抛物线方程联立,
2?y?k(x?1),2222 消去y得 kx?(2k?4)x?k?0. ?2?y?4x设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点为M(x,y),则有
?x1?x2k2?2x??,??2k2 消k得y2?2(x?1). ??y?k(x?1)?2.?k?当直线PQ的斜率不存在时,易得弦PQ的中点为F(1,0),也满足所求方程. 故所求轨迹方程为y?2(x?1). 解法2 设P(x1,y1),Q(x2,y2),
2??y1?4x1,由?2 得(y1?y2)(y1?y2)?4(x1?x2),设PQ中点为M(x,y), ??y2?4x2.2当x1?x2时,有2y?所以,y?y1?y2y?4,又kPQ?kMF?,
x1?x2x?1y?2,即y2?2(x?1). x?1当x1?x2时,易得弦PQ的中点为F(1,0),也满足所求方程. 故所求轨迹方程为y?2(x?1).
10.过定点P(1, 4)作直线交抛物线C:y?2x于A、B两点, 过A、B分别作抛物线C的切线交于点M, 则点M的轨迹方程为_________.y?4x?4
(二)解答题
1.一动圆过点P(0, 3),且与圆x?(y?3)?100相内切,求该动圆圆心C的轨迹方程. (定义法)
2222x2y2??1的左顶点A1作任意弦A1E并延长到F,使|EF|?|A1E|,A2为2.过椭圆
369椭圆另一顶点,连结OF交A2E于点P, 求动点P的轨迹方程.
(直接法、定义法;突出转化思想)
y F EPA1OA2x
x2y23.已知A1、A2是椭圆2?2?1的长轴端点,P、Q是椭圆上关于长轴A1A2对称的两
ab点,求直线PA1和QA2的交点M的轨迹.(交轨法)
4.已知点G是△ABC的重心,A(0,?1), B(0,1),在x轴上有一点M,满足
|MA|?|MC|,GM??AB ???R?.
(1)求点C的轨迹方程;(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、Q,且满足|AP|?|AQ|,试求k的取值范围.
解:(1)设C(x,y),则由重心坐标公式可得G(,). ∵ GM??AB ,点M在x轴上,∴ M(,0).
xy33x3∵ |MA|?|MC|,A(0,?1),∴
x2x2x22()?1?(x?)?y,即 ?y2?1. 333x2?y2?1(y??1)故点C的轨迹方程为.(直接法) 3(2)设直线l的方程为y?kx?b(b??1),P(x1,y1)、Q(x2,y2),PQ的中点为N. 由??y?kx?b,22?x?3y?3.22消y,得(1?3k)x?6kbx?3(b?1)?0.
2222222∴ ??36kb?12(1?3k)(b?1)?0,即1?3k?b?0. ①
?6k2b2b6kby?y?k(x?x)?2b??2b?又x1?x2??,∴, 12122221?3k1?3k1?3k∴ N(?3kbb,).
1?3k21?3k2∵ |AP|?|AQ|,∴ AN?PQ,∴ kANb?1211??,即 1?3k??,
3kbkk?1?3k2∴ 1?3k?2b,又由①式可得 2b?b?0,∴ 0?b?2且b?1.
22∴ 0?1?3k?4且1?3k?2,解得?1?k?1且k??223. 3故k的取值范围是?1?k?1且k??
3. 35.已知平面上两定点M(0,?2)、N(0,2),P为一动点,满足MP?MN?PN?MN. (Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(直接法)
(Ⅱ)若A、B是轨迹C上的两动点,且AN??NB.过A、B两点分别作轨迹C的切线,设其交点为Q,证明NQ?AB为定值.
解:(Ⅰ)设P(x,y).由已知MP?(x,y?2),MN?(0,4),PN?(?x,2?y),
MP?MN?4y?8.
PN?MN?4x2?(y?2)2,……………………………………………3分
∵MP?MN?PN?MN, ∴4y?8?4x?(y?2). 整理,得 x?8y.
即动点P的轨迹C为抛物线,其方程为x?8y.
2222|m?1)6.已知O为坐标原点,点E(?1,0)、动点A、,F(1,0),N满足|AE|?m|EF(M、
1MN?AF?0,ON?(OA?OF),AM//ME.求点M的轨迹W的方程.
21 解:∵MN?AF?0,ON?(OA?OF),
2∴ MN垂直平分AF.
四川省木里县中学高三数学总复习-动点轨迹问题-新人教A版
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