实验报告三
学院名称：理学院 专业年级： 姓 名： 学 号：
课 程：数学模型与数学建模 报告日期：2015年11月24日
一、实验题目
例1.3.1 继续研究十字路口红绿灯问题 十字路口绿灯亮灯30s，最多可以通过多少辆汽车？继续研究问题：十字路口绿灯亮ts，最多可以通过多少辆汽车n?n(t)？ 例 1.3.2 图像做旧
练习：改变融合比例，尝试其它做旧效果 例1.3.3 画分形树
二、实验目的
数学建模是一种数学的思考方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似的刻画并“解决”实际问题的路径。因此，模型一般具有明确的应用背景，针对性较强。为了使所研究的模型有相当的普适性，能解决一类问题，就需要在模型确立之后，进一步分析推广，挖掘出模型更多的理论和实用的价值。
三、问题陈述
第一题
问题要求很明确，求解的关键是绿灯亮后，汽车才启动，加速是过路口，要确定在给定时间内能通过多少辆车，就要考虑汽车加速度，从停车位置到路口的路程以及城市行车的最高限速要求。 第二题
数值图像是一个函数，f:??R4，确切的说，是定义在矩形区域??R的离散网格点?xi,yi?上的函数，称?xi,yi?为像素点zij?f?xi,yi?为像素值，当d?1时，f为灰度图像，当d?3时，f为彩色图像，所以灰度图像就是一个矩阵Z?zij，彩色图像就是三个矩阵，分别表示三个颜色（红、绿、蓝RGB），即三维数组表达，图像做旧是一种图像融合的方法，可以通过两个矩阵的加权求和来实现。
需要强调的是，为解决问题编写程序不仅需要熟悉软件的变异特点，例如MATLAB的矩阵语言，而且要密切结合问题的背景，利用其数学特征，才有可能编写出有效的程序，下面以编写分形树的绘图为例，说明如何利用分形树的自相似特征，将需要运行十多分时间的程序改进为几秒就能实现的程序。
第三题
分形是对不规则的难以用传统欧式几何描述的几何图形，例如，海岸线和山川形状，多数分形图案的特点之一是从整体到局部的自相似性，从远距离观察，海岸线和山川形状是极不规则的；从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，数学的分形树是按一定规律构造
3??的的具有自相似特征的几何图案。我们从一个线段生成一个分形树图案开始，学习几何最基本的元素“点”和“直线”的矩阵代数表达方式。
四、模型及求解结果
第一题
记在时刻t第n辆车的位置为Sn(t)，用数轴表示车辆行驶道路，数轴的正向为汽车行驶方向，数轴原点为红绿灯的位置。于是当Sn(30)?0时，表明在第30s第n辆车已通过红绿灯，否则，结论相反。于是，只要确定限速行驶模型Sn(t)，就可以确定30s内通过的汽车数量n。在单向、单车道、直行、限速等假设下，在《数学模型与数学建模》中给出了这个模型：
?Sn(0)?a/2(tn*?tn)2?v(t?tn*),t?tn*,? Sn(t)??Sn(0)?a/2(t?tn)2,tn?t?tn*,?S(0),0?t?t.n?n其中Sn(0)??(n?1)(L?D)表示第n辆车在绿灯亮前的位置，tn?n表示第n辆车的启动时间，参数驱车长L?5m，车距D?2m，tn*?v*/a?tn表示第n辆车达到最大限速时间。加速度a?2m/s，最大限速v*?11m/s。可以得到结果，绿灯亮30s，该路口单向，单车道可以通过17辆车。
这里直接研究限速行驶模型的应用。确定十字路口绿灯亮多长时间是城市交通管理中最基本的一个问题。直接利用限速行驶模型计算每辆车到达路口的时间，有数值结果可见，绿灯亮后汽车开始以最高限速穿过路口的时间在11s以后，从第6辆车开始。以后的车都以最高限速穿过路口。绿灯亮30s通过路口17辆车中有11辆车以最高限速穿过路口，如果绿灯只亮15s，则在通过7辆车中只有两辆车以最高的限速穿过路口，显然这样的交通灯控制策略对于路口的利用率是不高的。
如果是利用限速行驶模型得到通过的车辆数对绿灯亮的时间长度的依赖关系n?n(t)，即得到当绿灯亮ts时，单向、单车道通过的车辆数，对进一步的研究更方便。要写出这个分段函数，推导并不困难，但是有些繁琐。但是在实际问题研究中找到显示表达式函数的机会非常少，借助计算机编程，；iyong输入输出表达函数关系常常是唯一可取的办法。下面以这个简单问题为例尝试一下。
一个基本的想法是，在有限时间内只能通过有限辆车，只要计算出n辆车通过路口的时间，再用规定的绿灯亮的时间长度为卡尺，就可以确定通过的车辆数。 算法
（1）计算每辆汽车达到最大限速时间t0，以加速度通过路口时间t1和以最大限速通过路口时间t2。
22 （2）比较t0和t1就可以确定这辆车实际通过路口的时间。
（3）将充分多辆车通过路口的时间列出来，（用find）确定通过路口时间小于绿灯亮的时间长度T的所有车号，其中最大者就是能够通过的车辆数，函数以pass.m文件名存储。 于是，只要输入T就会由函数pass(T)得到通过的车辆数。 第二题
1、图像做旧处理所得图像及其拉伸灰度级显示图像结果如下图所示：
上图 （图像做旧）左上为原双精度图，右上为整数型数据的得到的图像，左下为双精度整数型数据各50%的融合比例，右下80%的双精度数据与20%的整数型数据融合后的结果。 2、练习题：改变融合比例
上图 （改变融合比例）左上为原双精度图，右上为整数型数据的得到的图像，左下为40%的双精度数据与60%的整数型数据融合后的结果，右下90%的双精度数据与10%的整数型数据融合后的结果。
第三题
第（1）步：画一个点P（2.5,3）
1?2.5,3?,P2?6.5,6? 第（2）步：画两个点P
1?x1,y1?，P1?x2,y2?之1，P2及其连线上的中点，因为任意两点P第（3）步：画两个点P间的连线上的点
P??x?,y??可以表示为
?x???x1??1???x2?y??y1??1???y2??P??P?1??P12，即：?? ?
P其中0???1，特别地，当??1/2时，?是连线上的中点。
注意：两个同阶矩阵相加等于对应元素相加，矩阵除以某数等于每个元素除以这 个数。
第（4）步：一枝树杈，任意给定一节树段，在其中点长出一个分杈，长度等于原树段长的一半，向左偏离原树段30°角，记原树段起点为P1，终点为P2，中点为 算法：
1P2平移到原点，并缩小1/2，得到向量①将向量PP0，如图：
P2P1P0OP，
P??P2?P1?/2
②将
OP1与P2连线的中点逆时针旋转π/6，再平移到PP0?1/2P1?1/2P2，得到向量
P0PL，PL?P0?PA,其中
?cos?/6sin?/6?A????sin?/6cos?/6????
是旋转变换矩阵；
1，③将PP0，PL，P0，P2依序连接起来。
数学模型与数学建模实验三
