§1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理
教学目标:
知识与技能:①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理;
②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题;
过程与方法:培养学生的归纳概括能力;
情感、态度与价值观:引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学重点:分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理) 教学难点:分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 授课类型:新授课 课时安排:2课时 第一课时
引入课题
先看下面的问题:
①从我们班上推选出两名同学担任班长,有多少种不同的选法?
②把我们的同学排成一排,共有多少种不同的排法?
要解决这些问题,就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说,就是研究按某一规则做某事时,一共有多少种不同的做法.
在运用排列、组合方法时,经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课,我们从具体例子出发来学习这两个原理.
1 分类加法计数原理 (1)提出问题
问题1.1:用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号,总共能够编出多少种不同的号码?
问题1.2:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车.如果一天中火车有3班,汽车有2班.那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?
探究:你能说说以上两个问题的特征吗? (2)发现新知
分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有类方案中有
n种不同的方法. 那么完成这件事共有
m种不同的方法,在第2
N?m?n 种不同的方法. (3)知识应用
例1.在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到,A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:
A大学 B大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学
如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择呢?
分析:由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所,而且只能选择一个专业,又由于两所大学没有共同的强项专业,因此符合分类加法计数原理的条件.解:这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所.在 A 大学中有 5 种专业选择方法,在 B 大学中有 4 种专业选择方法.又由于没有一个强项专业是两所大学共有的,因此根据分类加法计数原理,这名同学可能的专业选择共有
5+4=9(种).
变式:若还有C大学,其中强项专业为:新闻学、金融学、人力资源学.那么,这名同学可能的专业选择共有多少种?
探究:如果完成一件事有三类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,在第3类方案中有m3种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法? 如果完成一件事情有n类不同方案,在每一类中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢? 一般归纳:
完成一件事情,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有
N?m1?m2?????mn
种不同的方法.
理解分类加法计数原理:
分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.
例2.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条? 解:从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,
第一类, m1 = 1×2 = 2 条 第二类, m2 = 1×2 = 2 条 第三类, m3 = 1×2 = 2 条
所以, 根据加法原理, 从顶点A到顶点C1最近路线共有 N = 2 + 2 + 2 = 6 条 练习
1.填空: ( 1 )一件工作可以用 2 种方法完成,有 5 人只会用第 1 种方法完成,另有 4 人只会用第 2 种方法完成,从中选出 l 人来完成这件工作,不同选法的种数是_ ;
( 2 )从 A 村去 B 村的道路有 3 条,从 B 村去 C 村的道路有 2 条,从 A 村经 B 的路线有_条.
第二课时
2 分步乘法计数原理 (1)提出问题
问题2.1:用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字,以A1,A2,…,B1,B2,…的方式给教室里的座位编号,总共能编出多少个不同的号码?
用列举法可以列出所有可能的号码:
我们还可以这样来思考:由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任何一个组成一个号码,而且它们各不相同,因此共有 6×9 = 54 个不同的号码.
探究:你能说说这个问题的特征吗? (2)发现新知
分步乘法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有2类方案中有
n种不同的方法. 那么完成这件事共有
m种不同的方法,在第
N?m?n 种不同的方法. (3)知识应用
例1.设某班有男生30名,女生24名. 现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛,共有多少种不同的选法?
分析:选出一组参赛代表,可以分两个步骤.第 l 步选男生.第2步选女生. 解:第 1 步,从 30 名男生中选出1人,有30种不同选择; 第 2 步,从24 名女生中选出1人,有 24 种不同选择. 根据分步乘法计数原理,共有 30×24 =720 种不同的选法.
探究:如果完成一件事需要三个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,做第3步有m3种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法?
如果完成一件事情需要n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢? 一般归纳: 完成一件事情,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有
N?m1?m2?????mn
种不同的方法.
理解分步乘法计数原理:
分步计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成任何其中的一步都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事. 3.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点
高中数学 1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理教案 新人教版选修2-3
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