4-6 试求下列函数的初值和终值
2(1) X(z)?
1?z?110z?1(2) X(z)?
(1?z?1)2
T2z(z?1)5z2(3) X(z)? (4) X(z)? 3(z?1)(z?2)(z?1)解 (1) x(0)?limX(z)?limz??2?2
z??1?z?1z?1x(?)?lim(z?1)X(z)?lim(z?1)z?12?2
1?z?110z?1?0 (2) x(0)?limX(z)?limz??z??(1?z?1)210z?1x(?)?lim(z?1)X(z)?lim(z?1)??
z?1z?1(1?z?1)2T2z(z?1)?0 (3) x(0)?limX(z)?limz??z??(z?1)3T2z(z?1)x(?)?lim(z?1)X(z)?lim(z?1)??
z?1z?1(z?1)35z2?5 (4) x(0)?limX(z)?limz??z??(z?1)(z?2)
5z2x(?)?lim(z?1)X(z)?lim(z?1)??5
z?1z?1(z?1)(z?2)4-9 S平面与Z平面的映射关系z?e解
(1) S平面的虚轴，映射到Z平面为 单位圆周 。
(2) S平面的虚轴，当?由0趋向∞变化时，Z平面上轨迹的变化。
从（1，0）绕单位圆逆时针旋转无穷圈
(3) S平面的左半平面，映射到Z平面为 单位圆内 。 (4) S平面的右半平面，映射到Z平面为 单位圆外 。 (5) S平面上?由0趋向∞变化时，Z平面上轨迹的变化。 4-12
已知闭环系统的特征方程，试判断系统的稳定性，并指出不稳定的极点数。
32sT?e?Tej?T
若?不变，则Z平面上轨迹为从原点出发的一条射线，其角度由?决定
解 (2) z?1.5z?0.25z?0.4=0
z?w?1 w?132?w?1??w?1??w?1??1.5?0.25???????0.4=0
w?1w?1w?1??????(w?1)3?1.5(w?1)2(w?1)?0.25(w?1)(w?1)2?0.4(w?1)3=0 w3?3w2?3w?1?1.5[(w2?2w?1)(w?1)?0.25[(w?1)(w2?2w?1)]?0.4(w3?3w2?3w?1)=0
w3?3w2?3w?1?1.5(w3?w2?w?1)?0.25(w3?w2?w?1)?0.4(w3?3w2?3w?1)=0
?0.35w3?0.55w2?5.95w?2.65=0 不稳定
(4) z?z?0.632=0
2z1,2?稳定
1?1?4*0.632?0.5?j0.618
24-15设离散系统如图4-29所示，要求：
R(s)+T=1?Ts1?e s
-Ks(0.2s?1)C(s)图4-29 离散系统
(1) 当K=5时，分别在z域和?域中分析系统的稳定性； (2) 确定使系统稳定的K值范围。 解 (1) 开环脉冲传递函数为
?1?e?Ts???K1c??ab?Ts?1G(z)?Z???KgZ(1?e)?K(1?z)Z???????2s(0.2s?1)?s2(0.2s?1)??ss0.2s?1???s
as(0.2s?1)?b(0.2s?1)?cs2?(0.2a?c)s2?(a?0.2b)s?b?1
b?1，a??0.2，c?0.04c?0.04??ab?0.21?1G(z)?K(1?z?1)Z??2??K(1?z)Z??????2?ss0.2s?1??ss0.2s?1?0.2??0.21 =K(1?z?1)Z???2??s?5??ss
z?1?0.2zTz0.2z?10.2(z?1)???K???K?0.2???????z?z?1(z?1)2z?e?5T?z?1z?0.0067???0.2(z?1)(z?0.0067)?(z?0.0067)?0.2(z?1)2 ?K(z?1)(z?0.0067)闭环传递函数为
Gc(z)?G(z)
1?G(z)?0.2(z?1)(z?0.0067)?(z?0.0067)?0.2(z?1)2KG(z)(z?1)(z?0.0067)Gc(z)???0.2(z?1)(z?0.0067)?(z?0.0067)?0.2(z?1)21?G(z)1?K(z?1)(z?0.0067)K[?0.2(z?1)(z?0.0067)?(z?0.0067)?0.2(z?1)2]
?(z?1)(z?0.0067)?K[?0.2(z?1)(z?0.0067)?(z?0.0067)?0.2(z?1)2]K[?0.2(z?1)(z?0.0067)?(z?0.0067)?0.2(z?1)2] ?(1?0.2K)(z?1)(z?0.0067)?K(z?0.0067)?0.2K(z?1)2K[?0.2(z?1)(z?0.0067)?(z?0.0067)?0.2(z?1)2] ?z2?(0.80134K?1.0067)z?0.192K?0.0067闭环系统的特征方程为
z2?(0.80134K?1.0067)z?0.192K?0.0067?0
K=5代入，即
z2?3z?0.9667?0
因为方程是二阶，故直接解得极点为
?3?32?4*(?0.9667)z1,2?2z1?0.2935 z2??3.2935一个极点不在单位圆内，所以系统不稳定。
z?w?1 w?1?w?1??w?1??3?????0.9667=0
?w?1??w?1?(w?1)2?3(w?1)(w?1)?0.9667(w?1)2=0
23.0333w2?3.9334w?2.9667=0
劳斯表为
w2
w1 w0
系统不稳定，不稳定的极点数为1个。 (2) 闭环系统的特征方程为
z2?(0.80134K?1.0067)z?0.192K?0.0067?0
z?w?1 w?1(w?12w?1)?(0.80134K?1.0067)?0.192K?0.0067?0 w?1w?1(w?1)2?(0.80134K?1.0067)(w?1)(w?1)?(0.192K?0.0067)(w?1)2?00.99334Kw2?(1.9866?0.384K)w?(2.0134?0.60934K)?0
劳斯表为
w2
0.99334K
2.0134?0.60934K
w1 w0
1.9866?0.384K 2.0134?0.60934K
若系统要稳定，则应满足以下不等式方程组
0.99334K?0???1.9866?0.384K?0 或 ?2.0134?0.60934K?0?得0?K?3.3042
0.99334K?0???1.9866?0.384K?0 ?2.0134?0.60934K?0?4-16设离散系统如图4-32所示，其中r(t)?t，试求稳态误差系数Kp、Kv、Ka，并求系
统的稳态误差e(?)。
R(s)+
-T=0.1 e?Ts1?s1s(s?1)C(s)解 开环脉冲传递函数为
图4-32 离散系统
?1?e?Ts??1?11??11?Ts?1G(z)?Z???Z(1?e)?(1?z)Z??????2?s(s?1)?s2(s?1)?ss?1??s??s ?T?T2?Tzzz?T(z?e)?(z?1)(z?e)?(z?1) ?(1?z?1)????2?T?(z?1)z?1z?e(z?1)(z?e?T)??则
T(z?e?T)?(z?1)(z?e?T)?(z?1)21?G(z)?1?(z?1)(z?e?T)(z?1)(z?e?T)?T(z?e?T)?(z?1)(z?e?T)?(z?1)2 ?(z?1)(z?e?T)T(z?e?T)?(z?1)20.1(z?e?0.1)?(z?1)2z2?1.9z?0.9095 ???2?T?0.1(z?1)(z?e)(z?1)(z?e)z?1.905z?0.9051(z?1)(z?e?0.1)z2?1.905z?0.905??2 ?0.121?G(z)0.1(z?e)?(z?1)z?1.9z?0.9095稳态误差系数
0.1(z?e?0.1)?(z?1)2Kp?lim[1?G(z)]?lim?? ?0.1z?1z?1(z?1)(z?e)稳态速度误差系数
0.1(z?e?0.1)?(z?1)20.1(z?e?0.1)Kv?lim(z?1)G(z)?lim(z?1)??0.1 ?0.1?0.1z?1z?1(z?1)(z?e)(z?e)稳态加速度误差系数
0.1(z?e?0.1)?(z?1)2Ka?lim(z?1)G(z)lim(z?1)?0 ?0.1z?1z?1(z?1)(z?e)22稳态误差
esr?lime(t)?lim(z?1)t??z?11R(z)
1?G(z)2) 单位速度输入时，R(z)?稳态误差
Tz0.1z? 22(z?1)(z?1)(z?1)(z?e?0.1)0.1z(z?e?0.1)zesr?lim(z?1)??lim?1
z?10.1(z?e?0.1)?(z?1)2(z?1)2z?1(z?e?0.1)或解 由例4-13知系统的开环脉冲传递函数
T(z?e?T)?(z?1)(z?e?T)?(z?1)2G(z)?
(z?1)(z?e?T)可见系统含有一个积分环节，所以是Ⅰ型系统。由表4-2可知
单位速度输入时，
计算机控制系统课后习题参考答案--第4章
