复旦托业CAD培训中心
当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t)，即有：
t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们正好是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得：
当t从0变到1时，它正好表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P20可以定义为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定的一次Bezier曲线的线性组合。
依次类推，由四个控制点定义的三次Bezier曲线P30可被定义为分别由(P0，P1，P2)和(P1，P2，P3)确定的二条二次Bezier曲线的线性组合；
进一步由(n+1)个控制点Pi(i=0, 1, ..., n)定义的n次Bezier曲线Pn0可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：
由此得到Bezier曲线的递推计算公式：
这便是著名的de Casteljau算法。用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常是定义Bezier曲线的控制点，即为曲线上具有参数t的点。de 有效。上式中：
Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。
P0
P0P0P
n-30
n-2n-1n
P1
P1
n-2n-1P2P2
n-3n-2P1
n-3P3
n-3
function deCasteljau(i,j) begin
if i = 0 then
return P0,j
else
return (1-u)* deCasteljau(i-1,j) + u* deCasteljau(i-1,j+1)
end
11
复旦托业CAD培训中心
这一算法可用简单的几何作图来实现。给定参数
，就把定义域分成长度为
的两段。
依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间顶点
，对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点。重复进行下去，直到n级递推得到一个中间顶点
下图所示为几何作图求三次Bezier曲线（给定参数域
即为所求曲线上的点
。
）上t＝1/3的点。把定义域分成长度为
1/3 : (1-1/3)的两段。依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分点就是第一级递推生成的中间顶点P0、P1、P2，对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点P0、P 1。重复进行下去，直到第3级递推得到一个中间顶点P0即为所求曲线上的点P（t）。
2
2
111
3
图 几何作图法求Bezier曲线上一点（n=3，t=1/3）
上述过程的de casteljau算法递推出的Pki呈三角形，对应结果如图所示。递归算法是上述过程的逆过程，首先从上向下递归，直到最底层后开始返回，最顶部点P30即为曲线上的点。
图 n=3时，Pi的递推关系
另外，这一算法隐含说明任一Bezier曲线均可被分割为两段Bezier曲线。第一段由P0、P0、
1
n
P02、P03确定，参数空间为[0,1/3];第二段P03、P12、P21、P3确定，参数空间为[1/3,1],分割后的
曲线形状保持不变。如图所示。
12
复旦托业CAD培训中心
图 Bezier曲线的分割（n=3，t=1/3）
5．Bezier曲线的拼接
几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。这是由于增加由于特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条件。给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1, ..., n)和Qj(j=0,1,..., m)，且令曲线连接起来。
（1）G0连续的充要条件是：Pn= Q0；
（2）G1连续的充要条件是：Pn-1，Pn = Q，Q1三点共线，即（3）G连续的充要条件是：在G1连续的条件下，并满足方程
2
，如图所示，我们现在把两条
。
图 Bezier曲线的拼接
我们将
、
和
，
、
代入，并整理，可以得到：
选择和
的值，可以利用该式确定曲线段
连续的话，只剩下顶点
的特征多边形顶点可以自由选取。
和
的线性组合：
，而顶点
、
已被
连续
条件所确定。要达到
如果从上式的两边都减去，则等式右边可以表示为
13
复旦托业CAD培训中心
这表明
、
、
、
和和
五点共面，事实上，在接合点两条曲线段的曲率相等，主位于
直线的同一侧。
法线方向一致，我们还可以断定：
6．Bezier曲线的升阶与降阶
1.Bezier曲线的升阶
所谓升阶是指保持Bezier曲线的形状与方向不变，增加定义它的控制顶点数，也即是提高该Bezier曲线的次数。增加了控制顶点数，不仅能增加了对曲线进行形状控制的灵活性，还在构造曲面方面有着重要的应用。对于一些由曲线生成曲面的算法，要求那些曲线必须是同次的，应用升阶的方法，我们可以把低于最高次数的的曲线提升到最高次数，使得各条曲线具有相同的次数。
曲线升阶后，原控制顶点会发生变化。下面，我们来计算曲线提升一阶后的新的控制顶点。 设给定原始控制顶点P0,P1,...,Pn，定义了一条n次Bezier曲线：
增加一个顶点后，仍定义同一条曲线的新控制顶点为P0*,P1*,...,Pn+1*，则有：
对上式左边乘以(t+(1-t))，得到：
比较等式两边ti(1-t)n+1-i项的系数，得到：
其中P-1=Pn+1=0。 此式说明：
? ?
升阶后的新的特征多边形在原始特征多边形的凸包内。 ? 特征多边形更靠近曲线。
三次Bezier曲线的升阶实例如图所示。
14
复旦托业CAD培训中心
图 Bezier曲线的升阶
2.Bezier曲线的降阶
降阶是升阶的逆过程。给定一条由原始控制顶点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线，要求找到一条由新控制顶点Pi*(i=0,1,...,n-1)定义的n-1次Bezier曲线来逼近原始曲线。 假定Pi是由Pi*升阶得到，则由升阶公式有：
和
其中第一个递推公式在靠近P0处趋向生成较好的逼近，而第二个递推公式在靠近Pn处趋向生成较好的逼近。
程序演示：Bezier曲线 1．修改控制点
2．自动升阶
对上面的Bezier曲线进行升阶，得到如下图所示曲线。
4个控制点4阶3次 5个控制点5阶4次
15
最经典CATIA曲线曲面设计基本理论
