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二、Bezier曲线的定义 1．定义
给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则Bezier参数曲线上各点坐标的插值公式是：
将其写成矩阵表达形式为：
?P0??P?1
P（t）＝ [B0,n(t)B1,n(t)...Bn,n(t)]??
?...????Pn?
其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形，Bi,n(t)是n次Bernstein基函数：
注意：约定 0 = 1, 0! = 1
n=0, B0,0(t) = 1
= 1-t B1,1(t) = t n=1, B0,1(t)
n=2, B0,2(t) = (1-t)2 B1,2(t) = 2t(1-t) B2,2(t) = t2
n=3, B0,3(t) = (1-t)3 B1,3(t) = 3t(1-t)2 B2,3(t) = 3t2（1-t） B3,3(t) = t3
…… ……
如图所示是一条三次Bezier曲线实例，即 n ＝ 3 。
图 三次Bezier曲线
对于三次Bezier曲线，其表达式为
P(t)=∑PiBi,3(t) t∈[0,1]
i=0
3
式中：B0,3(t) = (1-t)，B1,3(t) = 3t(1-t)， B2,3(t) = 3t(1-t)， B3,3(t) = t
将其写为矩阵表达式则为：
P（t）＝ [ B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t) B3,3(t) ] [ P0 P1 P2 P3 ]T
3 223
6
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??13?3?3?63t1?
??330?
00?1
1??P0?
?P?0???1? 0??P2????0??P3?
＝ t3
[t2
]、Pz（t）的值，具体如下： 式中若求PX（t）的值，则取Pi的x坐标进行计算，同理求Py（t）
Px（t）＝ [ B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t) B3,3(t) ] [ P0x P1x P2x P3x ]T B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t) B3,3(t) ] [ P0y P1y P2y P3y ]T Py（t）＝ [
B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t) B3,3(t) ] [ P0z P1z P2z P3z ]T Pz（t）＝ [
注意：上式基函数的计算仅需一次，不必三次。
2．Betnstein基函数的性质
注意：是基函数的性质，并非曲线的性质。
（1）正性
（2）端点性质
（3）权性
由二项式定理可知：
（4）对称性
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因为（5）递推性。
,其计算过程表示为：
Bi,n(t) Bi,n-1(t) Bi,n-2(t) Bi,n-3(t) ………
Bi-1,n-1(t) Bi-1,n-2(t) Bi-1,n-3(t) ………
Bi-2,n-2(t) Bi-2,n-3(t) ………
Bi-3,n-3(t) ………
……… 即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的Bernstein调和函数线性组合而成。 （6）导函数
（7）最大值： 在处达到最大值。
3．Bezier曲线的性质
（1）端点性质
a. 曲线端点位置矢量
由Bernstein基函数的端点性质可以推得，P(0) = P0 ， P(1) = Pn
由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。 b. 端点切矢量，因为
= n(P1-P0)， P’(1) = n(Pn-Pn-1) 即 P’(0)
这说明Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走
向一致。
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c. 端点二阶导矢
即：
，
上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。
（2）对称性。
颠倒控制点顺序，即控制顶点曲线形状相同，仅走向相反。因为：
构造出的新Bezier曲线，则与原Bezier
这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。 （3）凸包性
由于，且，这一结果说明当t在[0，1]区间变
的加权平均，权因子依次是
。在几何图形上，
化时，对某一个t值，P(t)是特征多边形各顶点意味着Bezier曲线P(t)在如图所示。
中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中，
（4）几何不变性。
这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。Bezier曲线的位置与形状与其特征多边形顶点
的位置有关，它不依赖坐标系的选择，即有：
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（参变量u是t的置换）
（5）变差缩减性。
若Bezier曲线的特征多边形
是一个平面图形，则平面内任意直线与C(t)的交点个数不多
于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征
多边形的波动还小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。
（6）仿射不变性
对于任意的仿射变换A：
即在仿射变换下，
的形式不变。
4．Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。
如图所示，设在
点的切线交
、和
、
是一条抛物线上顺序三个不同的点。过于
和
，则如下比例成立：
和
点的两切线交于
点，
,
这是所谓抛物线的三切线定理，其几何意义如下图所示。
图 抛物线的三切线定理
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最经典CATIA曲线曲面设计基本理论
