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CATIA曲线曲面设计基本理论
一、概述
曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计 (Computer Aided Geometric Design,CAGD)和计算机图形学的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(Rational
B-spline Surface)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这两类方法为主体，以插值(Interpolation)、逼近(Approximation)这二种手段为骨架的几何理论体系。
1．发展历程
形状信息的核心问题是计算机表示，既要适合计算机处理，且有效地满足形状表示与设计要求，又便于信息传递和数据交换的数学方法。象飞机、汽车、轮船等具有复杂外形产品的表面是工程中必须解决的问题。曲面造型的目的就在如此。
1963年美国波音（Boeing）飞机公司的佛格森（Ferguson）最早引入参数三次曲线（三次Hermite插值曲线），将曲线曲面表示成参数矢量函数形式，构造了组合曲线和由四角点的位置矢量、两个方向的切矢定义的佛格森双三次曲面片，从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。
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仅用端点的位置和切矢控制曲线形状是不够的，中间的形状不易控制，且切矢控制形状不直接。 1964年，美国麻省理工学院（MIT）的孔斯（Coons）用四条边界曲线围成的封闭曲线来定义一张曲面，Ferguson曲线曲面只是Coons曲线曲面的特例。而孔斯曲面的特点是插值，即构造出来的曲面满足给定的边界条件，例如经过给定边界，具有给定跨界导矢等等。但这种方法存在形状控制与连接问题。
1964年，舍恩伯格（Schoenberg）提出了参数样条曲线、曲面的形式。
1971年，法国雷诺（Renault）汽车公司的贝塞尔（Bezier）发表了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法。这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。
但当构造复杂曲面时，Bezier方法仍存在连接问题和局部修改问题。
同期，法国雪铁龙（Citroen）汽车公司的德卡斯特里奥（de Castelijau）也独立地研究出与Bezier类似的方法。
1972年，德布尔（de Boor）给出了B样条的标准计算方法。
1974年，美国通用汽车公司的戈登（Gorden）和里森费尔德（Riesenfeld）将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线和曲面。这种方法继承了Bezier方法的一切优点，克服了Bezier方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状的描述问题得到较好解决。但随着生产的发展，B样条方法显示出明显不足，不能精确表示圆锥截线及初等解析曲面，这就造成了产品几何定义的不唯一，使曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产管理混乱。
1975年，美国锡拉丘兹（Syracuse）大学的佛斯普里尔（Versprill）提出了有理B样条方法。 80年代后期皮格尔（Piegl）和蒂勒（Tiller）将有理B样条发展成非均匀有理B样条方法（即NURBS），并已成为当前自由曲线和曲面描述的最广为流行的技术。
NURBS方法的突出优点是：可以精确地表示二次规则曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面，而其它非有理方法无法做到这一点；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更宜于控制和实现；NURBS方法是非有理B样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理B样条曲线曲面的性质及其相应算法也适用于NURBS曲线曲面，便于继承和发展。
由于NURBS方法的这些突出优点，国际标准化组织(ISO)于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP国际标准，将NURBS方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学描述方法，从而使NURBS方法成为曲面造型技术发展趋势中最重要的基础。
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2．基本概念
曲线、曲面的显式、隐式、参数表示
曲线、曲面可以用显式、隐式和参数表示。
显式：形如z ＝ f（x，y）的表达式。对于一个平面曲线，显式表示一般形式是：y=f（x）。在此方程中，一个x值与一个y值对应，所以显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如，不能用显式方程表示一个圆。
隐式：形如f（x，y，z）＝ 0的表达式。如一个平面曲线方程，表示成f（x，y）=0的隐式表示。隐式表示的优点是易于判断函数f（x，y）是否大于、小于或等于零，也就易于判断点是落在所表示曲线上或在曲线的哪一侧。
参数表示：形如x ＝ f（t），y ＝ f（t），z ＝ f（t）的表达式，其中t为参数。即曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数。
如平面曲线上任一点P可表示为： P(t) = [x(t), y(t)]；
空间曲线上任一三维点P可表示为： P(t) = [x(t), y(t), z(t)]；如图：
最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的直线段参数方程可表示为：
P(t) = P1 + ( P2 - P1 )t t∈[0, 1];
圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一象限内的单位圆弧的非参数显式表示为：
其参数形式可表示为：
参数表示的曲线、曲面具有几何不变性等优点，计算机图形学中通常用参数形式描述曲线、曲面。其优势主要表现在：
（1）可以满足几何不变性的要求，坐标变换后仍保持几何形状不变
（2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。如一条二维三次曲线的显式表示为：
只有四个系数控制曲线的形状。而二维三次曲线的参数表达式为：
有8个系数可用来控制此曲线的形状。
（3）对非参数方程表示的曲线、曲面进行变换，必须对其每个型值点进行几何变换，不能对其方程变换（因不满足几何变换不变性）；而对参数表示的曲线、曲面可对其参数方程直接进行几何变换。
（4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中断计算。
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（5）参数方程中，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去。这种变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量。
（6）规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。
（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率 （见高等数学）
插值、逼近、拟合
插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0, 1, …, n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。常用插值方法有线性插值、抛物线插值等。
逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线为逼近曲线。
拟合：插值和逼近则统称为拟合（fitting）。 光顺、连续性
光顺：通俗含义指曲线的拐点不能太多，曲线拐来拐去，就会不顺眼，对平面曲线而言，相对光顺的条件是：a）具有二阶几何连续性(G2)；b）不存在多余拐点和奇异点；c）曲率变化较小。
连续性：设计一条复杂曲线时，常常通过多段曲线组合而成，这需要解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题，即为连续性问题。
曲线间连接的光滑度的度量有两种：一种是函数的可微性，把组合参数曲线构造成在连接处具有直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，这类光滑度称之为C n或n阶参数连续性。另一种称为几何连续性，组合曲线在连接处满足不同于C n的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续性，简记为G n。曲线光滑度的两种度量方法并不矛盾，C n连续包含在G n连续之中。
对于上图所示二条曲线P(t) 和Q(t)，参数
，若要求在结合处达到G0连续或C0连续，即
两曲线在结合处位置连续：P(1) = Q (0) 。
若要求在结合处达到G1连续，就是说两条曲线在结合处在满足G0连续的条件下，并有公共的切矢：
当
…………（1－1）
时，G1连续就成为C1连续。
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若要求在结合处达到G2连续，就是说两条曲线在结合处在满足G1连续的条件下，并有公共的曲
率矢：
代入(1－1)得：
…………（1－2）
这个关系为：
…………(1－3)
即Q”(0)在P”(1)和P’(1)确定的平面内。
为任意常数。当
，
时，G2连续就成为C2
连续。在弧长作参数的情况下，C1连续保证G2连续，C1连续能保证G2连续，但反过来不行。也就是说C n连续的条件比G n连续的条件要苛刻。
3．简单代数曲面
简单代数曲面在造型系统中常见，但远远不能满足复杂曲面造型的要求。
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最经典CATIA曲线曲面设计基本理论
