2020年全国硕士研究生入学统一考试
数学(三)试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． ．．．
f(x)?asinf(x)?sina1.设lim（ ） ?b,则limx?ax?ax?ax?aA. bsina B.bcosa C.bsinf(a) D. bcosf(a)
2. 函数f(x)?eln1?x的第二类间断点的个数为（ ）
(ex?1)(x?2)1x?1A.1 B.2 C. 3 D.4 3. 设奇函数f(x)在(??,??)具有连续导数，则（ ）
?B. ?C. ?D. ?A.
x0x[cosf(t)?f?(t)]dt是奇函数 [cosf(t)?f?(t)]dt是偶函数 [cosf?(t)?f(t)]dt是奇函数 [cosf?(t)?f(t)]dt是偶函数
0x0x04.设幂级数当
?na(x?2)nn?1?n的收敛区间为(?2,6)，则
?a(x?1)nn?1?2n的收敛区间为（ ）
A. (?2,6) B. (?3,1) C. (?5,3) D. (?17,15)
5. 设4阶方阵A?(Aij)不可逆，a12的代数余子式A12?0，?1,?2,?3,?4为矩阵A的列向量组，则A*X?0的通解为（ ）
A.x?k1?1?k2?2?k3?3 B.x?k1?1?k2?2?k3?4 C.x?k1?1?k2?3?k3?4 D.x?k1?2?k2?3?k3?4
6. A为3阶方阵，?1,?2为属于特征值1的线性无关的特征向量，?3为A的属于-1的特征
?1???1??1向量，满足PAP???的可逆矩阵P为（ ）
?1???A. ??1??3,?2,??3?
??1??2,?2,??3? C. ??1??3,??3,?2? D. ??1??2,??3,?2?
B.
7. 设A,B,C为三个随机事件，且P(A)?P(B)?P(C)?1,P(AB)?0,P(AC)?P(BC) 41，则A,B,C中恰有一个事件发生的概率为（ ） 123215A. B. C. D. 43212?
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8. 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0;1,4;?)，下列随机变量服从标准正态分布且与X独立的是（ ）
125533(X?Y) B. (X?Y) C. (X?Y) D. (X?Y) 5533二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位．．．
A.置上．
9. 设z?arctan?xy?sin?x?y??,则dz?0,??? . 10.设曲线x?y?e2xy?0在点(0,?1)处的切线方程为 . 11.设Q表示产量，成本C(Q)?100?13Q,单价P，需求量QP)?利润最大时的产量为 . 12. 设平面区域D??(x,y)800?2，则工厂取得P?3??x1?则D绕y轴旋转所形成旋转体体积?y?,0?x?1?，221?x?1为 .
a13. 行列式
0a1?1?11a00?11?1? . 0a14. 随机变量X的分布律为P(X?k)?则EY? .
1,k?1,2,L,Y为X被3除的余数， 2k三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． ．．．
15.（本题满分10分）.
设a,b为常数，且当n??时，(1?)?e与16.（本题满分10分）
求函数f(x,y)?x?8y?xy的极值. 17.（本题满分10分）
若函数f(x)满足f??(x)?2f?(x)?5f(x)?0,且有f(0)?1.f?(0)??1， （I）求f(x)；（II）设an?18. （本题满分10分）
设区域D?(x,y)x?y?1,y?0， f(xy)?y1?x?x计算
331nnb为等价无穷小，求a,b的值 na??n+?f(x)dx，求?an.
n?1??22?2??f(xy)dxdy，
D??xf(xy)dxdy.
D19.（本题满分10分）
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设函数f?x?在[0,2]上具有连续导数,f?0??f?2??0，M?max{|f(x)|}.证明：
x?(0,2)（1）????0,2?,使得f?????M （2）若?x??0,2?,f??x??M,则M?0. 20.（本题满分11分）
22 设二次型f?x1,x2??x1经正交变换??4x1x2?4x22，其中a?b g?y1,y2??ay12?4y1y2?by2（I）求a,b的值；
?x1??y1??Q???化为二次型?x2??y2?（II）求正交矩阵Q.
21.（本题满分11分）
设A为2阶矩阵，P?(α,Aα)，α是非零向量且不是A的特征向量。 （I）证明矩阵P可逆；
（II）若Aα?Aα?6α?0，求P?1AP并判断A是否相似于对角矩阵。 22.（本题满分11分）
设二维随机变量(X,Y)在区域D?(x,y)0?y?1?x2?2?上服从均匀分布，且，
?1,X?Y?0?1,X?Y?0求： Z1??,Z2??0,X?Y?00,X?Y?0??（I）求二维随机变量(Z1,Z2)的概率分布； （II）求Z1,Z2的相关系数.
23.（本题满分11分）
设某种原件的使用寿命T的分布函数为
t?()m???,t?0，其中?,m为参数且大于零. F(t)??1?e??0,其它（I）求概率P{T?t}与P{T?S?t|T?S}，其中S?0,t?0；
（II）任取n个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为t1,t2,L,tn，若m已知，求?$. 的最大似然估计值?
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2020年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
