①若∠A=40°，∠ABC+∠ACB= °；∠XBC+∠XCB= °；
②试判断∠A与∠XBA+∠XCA之间存在怎样数量关系？并写出证明过程．
（2）如图2，如果直角顶点X在△ABC外部，试判断∠A、∠XBA、∠XCA之间又存在怎样的数量关系？（只写出答案，无需证明）．
【答案】（1）①140，90；②∠A+∠XBA+∠XCA=90°，证明见解析；（2）∠A+（∠XBA－∠XCA）=90° 【解析】
试题分析：（1）①根据三角形内角和定理可得
∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∠XBC+∠XCB=180°﹣∠XBC=90°，进而可求出∠ABX+∠ACX的度数；
②根据三角形内角和定义有90°+（∠ABX+∠ACX）+∠A=180°，则可得出结论． （2）由②的解题思路可得：∠A+（∠XBA－∠XCA）=90°． （1）①若∠A=40°，∠ABC+∠ACB= 140 °； ∠XBC+∠XCB= 90 °；
②∠A+∠XBA+∠XCA=90°（或等式的变形也可以） 证明：∵∠X=90°
∴∠XBC+∠XCB=180°－∠X=90° ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠A+（∠XBA+∠XCA）+（∠XBC+∠XCB）=180°， ∴∠A+（∠XBA+∠XCA）=180°－90°=90°， ∴∠A=90°－（∠XBA+∠XCA） （2） ∠A+（∠XBA－∠XCA） =90°．
点睛：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和为180°以及沟通外角和内角的关系．
8．如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一点，且FD⊥BC于D点． (1)试猜想∠EFD，∠B，∠C的关系，并说明理由；
(2)如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由．
① ② 【答案】(1)∠EFD＝【解析】 【分析】
11∠C－∠B.（）成立，理由见解析. 2211∠BAC=[180°-（∠B+∠C）]，再根据外角的定义22-∠FED． 求出∠FED=∠B+∠BAE，然后利用直角三角形的性质求出∠EFD=90°
【详解】
先根据AE平分∠BAC推出∠BAE=解：(1)∠EFD＝
11∠C－∠B. 22理由如下：由AE是∠BAC的平分线知∠BAE＝由三角形外角的性质知∠FED＝∠B＋故∠B＋
1∠BAC. 21∠BAC， 21∠BAC＋∠EFD＝90°①. 2在△ABC中，由三角形内角和定理得 ∠B＋∠BAC＋∠C＝180°， 即
111∠C＋∠B＋∠BAC＝90°②. 222②－①，得∠EFD＝(2)成立．
11∠C－∠B. 221∠BAC， 2理由如下：由对顶角相等和三角形的外角性质知：∠FED＝∠AEC＝∠B＋故∠B＋
1∠BAC＋∠EFD＝90°①. 2在△ABC中，由三角形内角和定理得： ∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，即
111∠B＋∠BAC＋∠C＝90°②.②－①，得22211∠C－∠B. 22【点睛】
∠EFD＝
此题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质，命题时经常将多个知识点联系在一起进行考查，这样更能训练学生的解题能力．
9．如图 (1)所示，AB，CD是两条线段，M是AB的中点，连接AD，MD，BC，BD， MC，AC，S△DMC，S△DAC和S△DBC分别表示△DMC，△DAC，△DBC的面积，当AB∥CD时，有S△DMC＝
SDAC?S2DBC.
(1)如图 (2)所示，当图6-9(1)中AB与CD不平行时，S△DMC=说明理由；
SDAC?S2DBC是否仍然成立?请
(2)如图 (3)所示，当图6-9(1)中AB与CD相交于点O时，S△DMC与S△DAC，S△DBC有什么样的数量关系?试说明你的结论． 【答案】(1) S△DMC=解析. 【解析】 【分析】
（1）先看题中给出的条件为何成立，由于三角形ADC，DMC，DBC都是同底，而由于AB∥DC，因此高相等，就能得出题中给出的结论，那么本题也要用高来求解，过A，M，B分别作BC的垂线AE，MN，BF，AE∥MN∥BF，由于M是AB中点，因此MN是梯形AEFB的中位线，因此MN=
SDAC?S2DBC仍成立，理由见解析； (2)S△DMC=
SDBC?S2DAC，理由见
1（AE+BF），三个三角形同底因此结论①是成立的． 2（2）本题可以利用AM=MB，让这两条边作底边来求解，三角形ADB中，小三角形的AB边上的高都相等，那么三角形ADM和DBM的面积就相等（等底同高），因此三角形OAD，OMD的和就等于三角形BMD的面积，同理三角形AOC和OMC的面积和等于三角形CMB的面积．根据这些等量关系即可得出题中三个三角形的面积关系． 【详解】
(1)当AB与CD不平行时，S△DMC=
SDAC?S2DBC仍成立．分别过点A，M，B作CD的垂线
AE，MN，BF，垂足分别为E，N，F.∵M为AB的中点，∴MN＝
1111(AE+BF)，∴S△DAC+S△DBC=DC·AE+DC·BF＝DC·(AE+BF)= 2222S?SDBC1DC·2MN=DC·MN=2S△DMC.∴S△DMC=DAC； 22
(2)S△DMC=
SDBC?S2DAC.理由：∵M是AB的中点，∴S△ADM＝S△BDM，S△ACM=S△BCM,而
S△DBC=S△BDM+S△BCM+S△DMC,① S△DAC=S△ADM+S△ACM-S△DMC,②∴①-②得S△DBC-S△DAC=2S△DMC,故S△DMC=
SDBC?S2DAC.
【点睛】
本题考查了三角形中位线和梯形，解题的关键是掌握三角形中位线定理和梯形的概念.
10．图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”.如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ； （2）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数.
（3）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.
【答案】（1）∠A+∠D=∠C+∠B；（2）∠P=45°；（3）2∠P=∠D+∠B. 【解析】 【分析】
（1）根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根据角平分线的定义可得∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，将①+②整理可得2∠P=∠D+∠B，进而求得∠P的度数；
（3）同（2）根据“8字形”中的角的规律和角平分线的定义，即可得出2∠P=∠D+∠B. 【详解】
解（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°， ∠AOD=∠BOC， ∴∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）由（1）得，∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，① ∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P， ∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P， 即2∠P=∠D+∠B=50°+40°， ∴∠P=45°；
（3）关系：2∠P=∠D+∠B；证明过程同（2）.
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