【精选】人教版数学八年级上册 三角形解答题中考真题汇编[解析版]
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合）．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线， ①当∠ABO＝60°时，求∠AEB的度数；
②点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况：若不发生变化，试求出∠AEB的大小；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，请直接写出∠ABO的度数．
【答案】（1）①135°②∠AEB的大小不会发生变化，∠AEB＝135°，详见解析（2）∠ABO＝60°或45° 【解析】 【分析】
（1）①根据三角形内角和定理、角分线定义，即可求解； ②方法同①，只是把度数转化为角表示出来，即可解答；
（2）根据三角形内角和定理及一个外角等于与它不相邻的两个内角和，利用角的和差计算即可求得结果，要对谁是谁的3倍分类讨论.. 【详解】
（1）如图1，①∵MN⊥PQ， ∴∠AOB＝90°，
∵∠ABO＝60°， ∴∠BAO＝30°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
11∠ABO＝30°，∠BAE＝∠BAO＝15°， 22∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝135°． ②∠AEB的大小不会发生变化．理由如下：
11同①，得∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝180°﹣∠ABO﹣∠BAO
22∴∠ABE＝
11（∠ABO+∠BAO）＝180°﹣×90°＝135°． 22（2）∠ABO的度数为60°．理由如下：如图2，
＝180°﹣
∵∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线所在的直线分别相交于E、F，
1（∠BAO+∠GAO）＝90°，即∠EAF＝90°， 2又∵∠BOA＝90°， ∴∠GAO＞90°，
1①∵∠E＝∠EAF＝30°，
3∠EOQ＝45°，∠OAE+∠E＝∠EOQ＝45°， ∴∠OAE＝15°，
11∠OAE＝∠BAO＝（90﹣∠ABO）
22∴∠OAE+∠OAF＝∴∠ABO＝60°． ②∵∠F＝3∠E，∠EAF=90° ∴∠E+∠F=90° ∴∠E=22.5° ∴∠EFA=90-22.5°=67.5°
∵∠EOQ＝∠EOM= ∠AOE= 45°，
∴∠BAO＝180°-(180°-45°-67.5°)×2=45°
∴∠ABO=90°-45°=45° 【点睛】
本题考查了三角形内角和定理及外角的性质、角分线定义，解决本题的关键是灵活运用三角形内角和外角的关系.
2．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”． 如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为
端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°< ∠OAC < 90°）．
（1）∠ABO的度数为 °，△AOB （填“是”或“不是”灵动三角形）； （2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”； （3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°. 【解析】 【分析】
（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；
（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；
（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算． 【详解】
（1）答案为：30°；是； （2）∵AB⊥OM ∴∠BAO＝90° ∵∠BAC＝60°
∴∠OAC＝∠BAO-∠BAC=30° ∵∠MON＝60°
∴∠ACO＝180°-∠OAC-∠MON＝90° ∴∠ACO＝3∠OAC， ∴△AOC为“灵动三角形”；
（3）设∠OAC= x°则∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x , ∠ABC＝30° ∵△ABC为“智慧三角形”， Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，°， ∴30＝3（90-x）， ∴x=80 Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时， ∴30=3（60+x） ∴x= -50 （舍去） ∴此种情况不存在， Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时， ∴60+x＝3（90-x）， ∴x＝52.5°，
Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时， ∴60+x＝90°，
∴x＝30°，
Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时， ∴90-x＝90°， ∴x＝0°（舍去）
Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时， ∴90-x＝3（60+x）， ∴x= -22.5（舍去）， ∴此种情况不存在，
∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。 【点睛】
考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
3．（问题探究）
将三角形ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A?处.
（1）如图，当点A落在四边形BCDE的边CD上时，直接写出?A与?1之间的数量关系；
（2）如图，当点A落在四边形BCDE的内部时，求证：?1??2?2?A；
（3）如图，当点A落在四边形BCDE的外部时，探索?1，?2，?A之间的数量关系，并加以证明；
（拓展延伸）
（4）如图，若把四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部点
A?、D的位置，请你探索此时?1，?2，?A，?D之间的数量关系，写出你发现的结
论，并说明理由.
【答案】【问题探究】（1）∠1=2∠A；（2）证明见详解；（3）∠1=2∠A+∠2；【拓展延伸】（4）2??A??D???1??2?360?.
【解析】 【分析】
（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题， （2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题， （3）运用三角形的外角性质即可解决问题，
（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】
解：（1）如图，∠1=2∠A．
理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D=∠A； ∵∠1=∠A+∠EA′D，∴∠1=2∠A．
（2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，
由四边形的内角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°， ∴∠A′+∠A=∠1+∠2， 由折叠知识可得∠A=∠A′， ∴2∠A=∠1+∠2．
（3）如图，∠1=2∠A+∠2
理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A，∠EFA=∠A′+∠2， ∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，
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