高中数学用构造法求数列的通项公式必修五
用构造法求数列的通项公式
农安实验中学 赵彦春
中心词：归纳，猜想，构造
数列问题以其多变的形式和灵活的求解方法倍受高考命题者的青睐,历年来都是高考命题的热点,求数列的通项公式更是高考重点考查的内容，作为常归的等差数列或等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造来形成等差数列或等比数列，之后再应用各自的的通项公式求解。 例
1:（06
年福建高考题）数列
?an?中,a1?1,an?1?2an?1则annn?1?
( )
A．2 B．2?1 C．2?1 D．2解：an?1?2an?1
nn
?an?1?1?2an?2?2(an?1)
?an?1?1?2 又a1?1?2
an?1?an?1?是首项为2公比为2的等比数列
an?1?2?2n?1?2n,?an?2n?1,所以选C
归纳总结：若数列?an?满足an?1?pan?q(p?1,q为常数），则令
an?1???p(an??)来构造等比数列，并利用对应项相等求?的值，求通项公式。
例2：数列?an?中，a1?1,a2?3,an?2?3an?1?2an，则an? 。 解：an?2?an?1?2(an?1?an)
?a2?a1?2 ??an?an?1?为首项为2公比也为2的等比数列。 an?an?1?2n?1，
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an?(an?an?1)?(an?1?an?2)????(a2?a1)?a1?2n?1?2n?2????2?11?2n??2n?11?2小结：先构造?an?1?an?等比数列，这是化归思想的具体应用，再用叠加法求出通项公式，当然本题也利用了等比数列求和公式。 例3：（必修5教材69页）
已知数列?an?中a1?5,a2?2,an?2an?1?3an?2,(n?3)求这个数列的通项公式。 解：?an?2an?3an?2
?an?an?1?3(an?1?an?2)
又a1?a2?7,?an?an?1?形成首项为7，公比为3的等比数列，
n?2则an?an?1?7?3………………………①
又an?3an?1??(an?1?3an?2)，
a2?3a1??13，?an?3an?1?形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列
n?2 则an?3an?1?(?13)?(?1)………………………② n?1n?1 ①?3?② 4an?7?3?13?(?1)
?an?7n?113?3?(?1)n?1 44小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确
定出数列的通项公式。 例4：（2008四川省高考题）
n设数列?an?的前项和为Sn,若b?an?2?(b?1)Sn成立，求证：当
b?2时,an?n?2n?1是等比数列。
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