同步测控
我夯基 我达标
1.等式12+22+32+…+n2=
12
(5n-7n+4)…( ) 2A.n为任何正整数时都成立 B.仅当n=1、2、3时成立 C.当n=4时成立,n=5时不成立 D.仅当n=4时不成立 解析:分别将n=1,2,3,4,5代入可作出判断. 答案:B
2.凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线条数f(n+1)等于( )
A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2
解析:凸n+1边形的对角线条数f(n+1)可看作是凸n边形的对角线条数f(n)加上从第n+1个顶点出发的n-2条对角线和凸n边形的一条边之和,即f(n+1)=f(n)+(n-2)+1=f(n)+n-1. 答案:C
3.如下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第37颗珠子应是什么颜色的?…( )
A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大
解析:每五颗珠子重复一次,其中每五颗珠子为一组,则第37颗珠子落在第八组第2颗,则为白色. 答案:A
4.观察右图图形规律,在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
解析:图形涉及三种符号、、各有3个,且各自有二黑一白,所以缺一个黑色符号,即应画上才合适. 答案:A
5.由数列1,10,100,1 000,…,猜测该数列的第n项可能是( )
A.10n B.10n-1 C.10n+1 D.11n 解析:1=101-1,10=102-1,100=103-1,1 000=104-1,故选B. 答案:B
6.已知数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+…+an-1(n≥1),则当n≥1时,an等于( ) A.2n B.
,其中符号与
1n(n+1) C.2n-1 D.2n-1 2解析:a0=1,a1=a0=1,a2=a0+a1=2a1=2,a3=a0+a1+a2=2a2=4,a4=a0+a1+a2+a3=2a3=8,…,猜想当n≥1时,an=2n-1. 答案:C
7.根据1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1的值,猜想出1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+ …+2+1=________________.
解析:n=1,2,3,4时,分别为1,4,9,16,猜想n时等式为n2.
答案:n2
8.若数列{an}的前4项分别为2,解析:将数列改为
222,,,则an与an+1之间的关系为____________. 7131911112222?,,,,可观察到分子相同,分母相差6,即2?=3,=3,
a1a3a2a1713191111?=3,…,猜想?=3. a4a3an?1an答案:
1an?1?1=3 an我综合 我发展
9.下面是按照一定规律画出的一列“树型”图:
经观察可以发现,图(2)比图(1)多出2个“树枝”,图(3)比图(2)多出5个“树枝”,图(4)比图(3)多出10个“树枝”,照此规律,图(7)比图(6)多出______________个 “树枝”. 解析:从题图中可看出图(2)比图(1)多出2个“树枝”,即2×1,图(3)比图(2)多出5个“树枝”,即2×2+1=22+20=5,图(4)比图(3)多出10个“树枝”,即23+21=10.
则图(5)比图(4)多出24+22=20个,图(6)比图(5)多出25+23=40个,图(7)比图(6)多出26+24=80个. 答案:80
10.观察下列式子:1+___________.
131151117<,1++<,1+++<,…,则可归纳出22222223422323411112n?1+++…+,右边为.
n223242n211112n?1答案:1+2+2+2+…+2<
n234n解析:通过观察不等式的左边为1+11.已知数列{an}的前n项和Sn,a1=?式.
解析:由a1可知S1,由Sn+S1,S2,S3,S4,…. 解:a1=?12,Sn++2=an(n≥2),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达
Sn311+2=an,可变形为=-2-(Sn-an)=-2-Sn-1,从而可分别算出SnSn22时,S1=?. 331+2=an, Sn∵当n≥2时,Sn+
∴
1=-2-(Sn-an)=-2-Sn-1. Sn1244135414=-2-S1=-2+=?.∴S2=?,=-2-S2=-2+=?.∴S3=?,=-2-S3=-2+=S2333S3445S45∴
?6. 55n?1.猜想Sn=?(n∈N+). 6n?2∴S4=?12.观察圆周上n个点之间所连的弦,发现2个点可以连1条弦,3个点可以连3条弦,4个点可
以连6条弦,5个点可以连成10条弦,由此归纳出什么规律?
解析:由题可知n=2时,1条弦;n=3时,3条弦;n=4时,6条弦;n=5时,10条弦. 从数值上可发现弦的条数与n的取值有关,可用n表示出来. 解:设圆周上n个点时所连弦为f(n)条, 则f(2)=1=
2?13?24?35?4n(n?1),f(3)=3=,f(4)=6=,f(5)=10=,于是f(n)=. 2222213.当n=1,2,3,4时,试判断2n与2n-1的大小,并由此推测当n∈N时,2n与2n-1的大小.
解析:通过计算,观察,归纳,猜测出它们之间的大小关系. 解:n=1时,21>2×1-1, n=2时,22>2×2-1, n=3时,23>2×3-1, n=4时,24>2×4-1,
于是猜测当n∈N+时,2n>2n-1.
14.设f(n)>0(n∈N+)且f(2)=4,对任意n1,n2∈N+,有f(n1+n2)=f(n1)·f(n2)恒成立,猜想f(n)的一个表达式.
解析:可先由n1、n2取特殊值,求得函数值以后再观察规律,猜想. 解:∵f(2)=4,对任意n1、n2∈N,有f(n1+n2)=f(n1)·f(n2)恒成立. ∴f(2)=f(1+1)=f(1)2=4. ∵f(n)>0,∴f(1)=2,
f(3)=f(1+2)=f(1)f(2)=23, f(4)=f(1+3)=f(1)f(3)=24. 猜想f(n)=2n.
我创新 我超越 15.已知a、b为正整数,设两直线l1:y=b?然数,两点(0,b),(xn-1,0)的连线与直线y=
bbx与l2:y=x的交点为P1(x1,y1),且对于n≥2的自aabx交于点Pn(xn,yn). a(1)求P1、P2的坐标. (2)猜想Pn的坐标公式.
解析:两直线的交点坐标可通过解方程组解出,由两点坐标又可写出新的直线方程,从而猜出Pn的坐标.
b?y??x,?aba2xy?a解:(1)解方程组?得P1(,).过(0,b),(,0)两点的直线方程为+=1,与
222ab?y?bx,?a?y=
bababx联立解得P2(,).(2)由(1)可猜想Pn(,). a33n?1n?116.设{an}是集合{2t+2s｜0≤s a4=9,a5=10,a6=12,…,将数列{an}各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形数表. (1)写出这个三角形数表的第四行与第五行各数; (2)求a100. 解析:先将2n各数写出,再写出{an},并按由小到大排列即可写出三角形数表. 解:(1)第四行的数分别为17、18、20、24,第五行的数分别为33、34、36、40、48. (2)设n为an的下标, 三角形数表第一行第一个元素下标为1. 2?(2?1)+1=2. 23?(3?1)第三行第一个元素下标为+1=4. 2第二行第一个元素下标为…… t(t?1)+1. 2t(t?1)第t行第s个元素下标为+s. 2第t行第一个元素下标为该元素等于2t+2s-1. 据此判断a100所在的行为 14(14?1)15(15?1)<100≤. 22所以a100是三角形数表第14行的第9个元素,a100=214+29-1=16640.
数学北师大选修同步测控 归纳推理 含解析
