数列知识点总结
一、等差数列与等比数列
等差数列
an 1 - an =d
等比数列
定义
an 1
an
=q(q 0)
通项公式
an = a1 +（ n-1 ） d
a b 2
an = a1 q n 1 (q 0) an = an 1 q
G 2
N
+
m
递推公式
an = an 1 +d, an = am +(n-m)d
A=
an = am q n
中项
+
推广： A= a n k an k （ n,k
2
ab 。推广：G= an k an k（ n,k
;n>k>0 ）。任意两数 a、c 不一定
N ;n>k>0 ）
有等比中项， 除非有 ac＞ 0，则等比中
项一定有两个
前 n 项和
性质
Sn =
n
2
（ a1 + an ）
Sn =n a1 +
n(n 1)
a1 (1 q n )
Sn =
1 q Sn =
a1 an q
） 若
d
2
（ 1）若 m n （2）数列 列，Sn，S2 n
a
2
p q ，则 am an ap aq；
2n 1
（
1
1 q
, a, a
2n
m n
p q ， 则
2n 1 仍为等差数
Sn， S3 n S2 n?? 仍为等差数
am·an ap·aq
（2） Sn，S2n Sn，S3n
为等比数列 ,公比为 qn
S2n?? 仍
列，公差为 n d ； （ 3）若三个成等差数列，可设为
a d， a， a d
（ 4）若 an，bn 是等差数列，且前 n 项和分别
为 Sn， Tn ，则
am bm
S2 m 1
T2 m 1
（ 5） an
为等差数列Sn an2
bn
（ a， b 为常数，是关于 n 的常数项为 0 的二次函数） （ 6） d=
aman
(m n)
m n
(7)d>0 递增数列 d<0 递减数列 d=0 常数数列
二、求数列通项公式的方法
1 、通项公式法： 等差数列、等比数列 2、涉及前ｎ项和 Sn 求通项公式，利用
an 与 Sn 的基本关系式来求。 即 a n
s1 a1 ( n 1) sn sn 1 (n
2)
例 1、在数列｛ an ｝中， Sn 表示其前ｎ项和，且 例 2、在数列｛ an ｝中， Sn 表示其前ｎ项和，且 3、已知递推公式，求通项公式。 （ 1）叠加法： 递推关系式形如 an 1
Sn
n2 , 求通项 an .
Sn 2 3an , 求通项 an
an f n 型
例 3、已知数列｛ an ｝中， a1 练习 1、在数列｛ an ｝中， a1 （ 2）叠乘法： 递推关系式形如
1， an
1 1
an
n ，求通项 an
a
3 ， an
n 1
an 2n ，求通项 an
an
f n 型
例 4、在数列｛ an ｝中， a1
1，an 1
n a ，求通项 a
nn
n 1
1
练习 2、在数列｛ an ｝中， a1
3 ， an
an 2n ，求通项 an
（ 3）构造等比数列： 递推关系式形如 例 5、已知数列｛ an ｝满足 a1
an 1
4 ， an
Aa n B (A,B 均为常数， A≠ 1,B ≠0) 3an 1 2 ，求通项 an
练习 3、已知数列｛ an ｝满足 a1 （ 4）倒数法
例 6、在数列 {a n} 中，已知 a1
3 ， an 1
1
2an 3 ，求通项 an
1 , an
,
2an
四、求数列的前 n 项和的方法
1、利用常用求和公式求和： 等差数列求和公式： Sn
an 2
求数列的通项 an
n(a1 an )
2
na1
n(n 1) d
2
na1
Sn
(q
(q
1)
1)
等比数列求和公式：
a1 (1 q n )
1 q
a1 an q
1 q
2、错位相减法： 主要用于求数列 {a n·bn} 的前 n 项和，其中 { an} 、 { bn } 分别是等差数列和等比数列 .[例 1] 求数列 2 , 42 , 3,
6
, 2n2
n
, 前 n 项的和 .
1
2 2
2
[例 2] 求和： Sn
1 3x 5x 2 7x 3 ( 2n 1)x n
3、倒序相加法： 数列｛ an ｝的第 m项与倒数第 m项的和相等。 即：a1 an a2 an 1
22
[例 3] 求 sin 1 sin 2
aa
m
n m 1
sin 2 3 R 都有 f x
sin2 88 f 1 x
sin 2 89 的值 1 2
，求：
[例 4] 函数 f
x 对任 x
f 0
f
1
f
2
f
n
1 n
f 1
n n
4、分组求和法： 主要用于求数列 {a n bn} 的前 n 项和，其中 { an} 、 { bn } 分别是等差数列和等比数列 [例 5] 求数列： 1
1
2
,2
1
,3 1 , , n 1n , 4 8 2
的前 n 项和
[例 6] 求和： a 1
a2 2 a3 3
an n
5、裂项相消法： 通项分解
（ 1） an
1 n(n 1)
1
n
1
11
n n 1
n 1
n
1
n
（ 2） an 1 1 n k
1 n k
1(11)
n(n k) k n n k
（ 3） an
（ 4） an
( n kn )
2
n 2 [例 7]
在数列 {a n} 中， an
，又 bn
n 1 n 1
n 1
an1且 [例 8]
已知正项数列 {a n} 满足 a1
a2
n 1
a2 n1 n N *
（Ⅰ）求数列 {a n} 的前 n 项的和
（Ⅱ）令 bn
1
{b n} 的前 n 项的和 Tn
，求数列
an an 1
五、在等差数列｛ an ｝中 , 有关 Sn 的最值问题
： (1)当 aam 10 >0,d<0 时，满足
a的项数 m 使得 sm 取最大值 .
m 1
0 (2)当 a1
0 <0,d>0 时，满足am
的项数 m 使得 sm 取最小值。
a
m 1
0
，求数列 {b n} 的前 n 项的和 .
an 1
高中数学必修五第二章《数列》知识点归纳
