2024届高三第二次月考数学试题（文科数学）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分 ）
一、选择题
1. 已知集合A??x|?1?x?2 ?，B??x|x2?2x?0 ?，则AIB?（ ） A. ?x|0?x?2 ? B. ?x|0?x?2 ? C. ?x|?1?x?0 ? D. ?x|?1?x?0 ? 2．若复数满足(1?i)z?1?2i3,则z等于
A．102 B．32 C．22 D．12
3. 已知条件p:a??1,条件q:直线x?ay?1?0与直线x?a2y?1?0平行,则p是q的( ) A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 设函数f(x)?(x?1)ex，则f?(1)?（ ）
A. 1 B. 2 C. 3?e D. 3e
5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一
个实例，若输入n,x的值分别为3，2则输出v的值为（ ）
A. 35 B.20 C. 18 D. 9 6．等比数列?an?中, a5?a14?5,则a8?a9?a10?a11? ( )
A. 10 B. 25 C. 50 D. 75
7.某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是( ) A.1 B.11114 12 C. 7 D．6 8．cos2π8-sin2π8=
A．
132 B．
12 C．22 D．?2
9. 某小学共有学生2000人，其中一至六年级的学生人数分别为400，400，400，300，300，200．为做好小学放学后“快乐30分”的活动，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取一年级学生的人数为( )
A．120 B．40 C．30 D．20
1
10.函数f(x)?(x?1)lnx的图象可能为 ( )
16. 某同学给出了以下结论: ①将y?cosx的图象向右平移
?个单位,得到y?sinx的图象; 2②将y?sinx的图象向右平移2个单位,可得y?sin?x?2?的图象; ③将y?sin??x?的图象向左平移2个单位,得到y?sin??x?2?的图象;
11. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是( )
其中正确的结论是__________(将所有正确结论的序号都填上).
ππ
A．2＋ B．2＋
23
ππ
C.4＋ D．4＋
32
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17. 已知数列?an?是等差数列，满足a1?2,a4?8，数列?bn?是等比数列，满足b2?4,b5?32. ④函数y?sin?2x??????的图象是由y?sin2x的图象向左平移个单位而得到的. 3?3?x2y212.已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分別为F1,F2，过F2的直线与椭圆交于A,B两点，若
ab?F1AB是以A为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
（Ⅰ）求数列?an?和?bn?的通项公式； （Ⅱ）求数列?an?bn?的前n项和Sn.
18. 《汉字听写大会》不断创收视率新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试．现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164)，第二组[164，168)，……，第六组[180，184)，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
A．
2 B．2?3 C.5?2 D．6?3 2二、填空题
13. 命题：“?x∈R，ex≤x”的否定是__________________．
（Ⅰ）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人
?x?y?0?14. 已知x,y满足?x?y?2，则z?2x?y的最大值为__________．
?y?0?uurrrrrrrrr15. 若向量a,b满足a|?b|?2,且a?(a?b)?2,则向量a与b的夹角为__________.
2
恰好在第1组或第4组的概率；
（Ⅱ）已知第5，6两组市民中有3名女性，组织方要从第5，6两组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市
民的概率．
19. 如图,已知四棱锥P?ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q 分别是PA,BD,PD的
中点
（Ⅰ）求证: MN//平面PCD （Ⅱ）求证:平面MNQ//平面PBC
20. 已知椭圆的一个顶点为A?0,?1?,焦点在x轴上.若右焦点到直线x?y?22?0的距离为3. （Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设椭圆与直线y?kx?m(k?0)相交于不同的两点M、N.当AM?AN时,求m的取值范围.
21. 已知函数f?x??x2?a?12lnx的图象在点??2,f??1???2???处的切线斜率为0. ?（Ⅰ）求函数f?x? 的单调区间;
（Ⅱ）若g?x??f?x??12mx在区间?1,???上没有零点,求实数m 的取值范围.
（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22. [选修4—4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中,曲线C1的极坐标方程是??244cos??3sin?,以极点为原点O,极轴为x轴正半轴(两
坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中,曲线Cx?cos?2的参数方程为: {y?sin? (?为参数)
（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程
（Ⅱ）将曲线Cx'?22x2经过伸缩变换{y'?2y后得到曲线C3,若M,N分别是曲线C1和曲线C3上的动点,
求MN的最小值.
23．选修4—5：不等式选讲
设函数f(x)?|x?1|?|x?a|(a?R)． （Ⅰ）当a?4时，求不等式f(x)?5的解集； （Ⅱ）若f(x)?4对x?R恒成立，求a的取值范围。
3
2024届高三第二次月考数学试题（文科数学）
参考答案
一、选择题
1～5，DACDC 6～10, BDCBA 11～12, AD
二、填空题13 ?x∈R，ex>x 14 4 15
?3 16 ①③ 三、解答题
17解：（Ⅰ）因为a4?a1?6?3d，所以d?2， 所以an?2?2?n?1??2n
因为
b5b?8?q3，所以q?2， 2所以b?4?2n?2?2nn
（Ⅱ）Sn(2?2n)n?2?2(1?2n)1?2?n(n?1)?2n?1?2 18.解：(1)被采访人恰好在第1组或第4组的频率为(0．05＋0．02)×4＝0．28， ∴估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0．28． (2)第5，6两组[176，184)的人数为(0．02＋0．01)×4×50＝6， ∴第5，6两组中共有6名市民，其中女性市民有3名，
记第5，6两组中的3名男性市民分别为A，B，C，3名女性市民分别为x，y，z，
从第5，6两组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，共有15个基本事件，列举如下：AB，AC， Ax，Ay，Az，BC，Bx，By，Bz，Cx，Cy，Cz，xy，xz，yz，
至少有1名女性的事件有Ax，Ay，Az，Bx，By，Bz，Cx，Cy，Cz，xy，xz，yz，共12个，
∴从第5，6两组中随机抽取2名市民组成宣传队，至少有1名女性市民的概率为124
15＝5．
19.解：（Ⅰ）由题意:四棱锥P?ABCD的底面ABCD为平行四边形,
点M,N,Q 分别是PA,BD,PD的中点,∴N是AC的中点,∴MN//PC,
又∵PC?平面PCD,MN?平面PCD,∴MN//平面PCD
（Ⅱ）由1知, MN//PC,∵M,Q 分别是PA,PD的中点,∴MQ//AD//BC,
又∵BC?平面PBC,PC?平面PBC,BC?PC?C,MQ?平面MNQ,
MN?平面MNQ,MQ?MN?M,∴平面MNQ//平面PBC.
20.解：（Ⅰ） 1.依题意可设椭圆方程为x2|a2?1?22ay2?1,则右焦点F(a2?1,0)由题设|2?2?3
解得a2?3故所求椭圆的方程为x23?y2?1 y?kx?m（Ⅱ）设P为弦MN的中点,由{x22
3?y?1得(3k2?1)x2?6mkx?3(m2?1)?0
由于直线与椭圆有两个交点,∴△>0,即m2?3k2?1① ∴xp?xM?xN3mk2??3k2?1从而ymp?kxp?m?3k2?1 4
2∴kA1??m?3k?1p?yp?xp3mk又AM?AN,AP?MN 则?m?3k2?13mk??1k即2m?3k2?1② 把②代入①得2m?m2解得0?m?2由②得k2?2m?13?0解得m?12故所求m的取范围是(12,2)
21.解：（Ⅰ）f?x? 的定义域为?0,???,f??x??2x?a2x因为f???1??2???1?a?0,所以a ? 1, ?f?x??x2?11?2lnx,f??x??2x?2x?2x?1??2x?1?2x 令f'?x??0,得x?12,令f'?x??0,得0?x?12, 故函数f?x? 的单调递增区间是??1???2,????,单调递减区间是?1??0,2?? （Ⅱ） g?x??x2?12lnx?12mx,由g??x??2x?12x?m4x2?mx?12?2x?0,得x??m?m2?168,设
x??m?m2?1608,
所以g?x?在(0,x0)上是减函数,在?x0,???上为增函数.因为g?x?在区间?1,???上没有零点,所以
g?x??0在?1,???上恒成立,
由g?x??0,得12m?lnx2x?x,令h?x??lnx2?2lnx?4x22x?x,则h??x??4x2.当x?1时, h'?x??0, 所以h?x?在?1,???上单调递减;所以当x?1?时, h?x?的最小值为?1?,所以
m2??1,即m??2 所以实数m 的取值范围是??2,???
22.解：（Ⅰ）1.∵C1的极坐标方程是??244cos??3sin?,∴4?cos??3?sin??24,
整理得4x?3y?24?0,∴C1的直角坐标方程为4x?3y?24?0.
曲线Cx?cos?2:{y?sin?,∴x2?y2?1,故C222的普通方程为x?y?1
（Ⅱ）将曲线C2经过伸缩变换{x'?22xy'?2yCx'2y'2后得到曲线3的方程为8?4?1, 则曲线C22cos?3的参数方程为{x?y?2sin? (?为参数)
.设N?22cos?,2sin??,
则点N到曲线C1的距离为
d?4?22cos??3?2sin??2441sin(???)?2424?241sin(???)45?25?5(tan??23)当sin??????1时, d有最小值
24?24124?2415,所以MN的最小值为5 23．解：（1）|x?1|?|x?4|?5等价于??x?1?2x?5?5或?1?x?4或??3?5?x?4，
???2x?5?5解得x?0或x?5。
故不等式f(x)?5的解集为{x|x?0或x?5}。
（2）因为：f(x)?|x?1|?|x?a|?|(x?1)?(x?a)?|a?1|，
5
西藏自治区林芝市第二高级中学2024届高三上学期第二次月考文科数学试题含答案
