数学试卷
参考数据：sin67?0.92，cos67?0.39，sin37?0.60，cos37?0.80，
3?1.73）
【答案】60
【解析】AC?92，BC?
14．设m?R，过定点A的动直线x?my?0和过定点B的动直线
BCAC9292?sinA??sin37??0.60?60 sinBsin670.92mx?y?m?3?0交于点P(x,y)，则|PA|?|PB|的最大值是 。
【答案】5 【解析】 方法1：
A(0,0)，B(1,3)，因为PA?PB，所以|PA|2?|PB|2?|AB|2?10
|PA|2?|PB|2?5（当且仅当|PA|?|PB|?5时取“?”故|PA|?|PB|?）
2方法2：
数学试卷
15．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数?(x)组成的集合：对于函数?(x)，存在一个正数M，使得函数?(x)的值域包含于区间[?M,M]。例如，当?1(x)?x3，?2(x)?sinx时，?1(x)?A，?2(x)?B。现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)?A”的充要条件是“?b?R，?a?D，； f(a)?b”
②函数f(x)?B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)?A，g(x)?B，则
f(x)?g(x)?B；
④若函数f(x)?aln(x?2)?x（x??2，a?R）有最大值，则f(x)?B。 x2?1其中的真命题有 。（写出所有真命题的序号） 【答案】①③④
三．解答题：本大题共6小题，共 75分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．已知函数f(x)?sin(3x??4)。
（1）求f(x)的单调递增区间； （2）若?是第二象限角，f()??34?cos(??)cos2?，求cos??sin?的值。 54解：（1）由2k???2?3x??4?2k???2?2k??2k????x?? 34312所以f(x)的单调递增区间为[（2）由f()?2k??2k???,?]（k?Z） 34312?34??4?cos(??)cos2??sin(??)?cos(??)cos2? 54454因为cos2??sin(2???)?sin[2(??)]?2sin(??)cos(??)
2444???数学试卷
所以sin(???8??)?cos2(??)sin(??) 4544又?是第二象限角，所以sin(??①由sin(????5)?0或cos2(??)? 4483?（k?Z） 4?4)?0????4?2k??????2k??所以cos??sin??cos②由cos(??23?3??sin??2 44?4)?5?515 ?cos(??)???(cos??sin?)??84222225 25 2所以cos??sin???综上，cos??sin???2或cos??sin???17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得?200分）。设每次击鼓出现音乐的概率为
1，且各次击鼓出现音乐相互独立。 2（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。
解：（1）X可能取值有?200，10，20，100
11113111P(X??200)?C30()0(1?)3?，P(X?10)?C3()(1?)2?，
22822811311313P(X?20)?C32()2(1?)1?，P(X?100)?C3()(1?)0?
228228故分布列为
X P ?200 1 810 20 100 3 83 81 8数学试卷
（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的概率是p?3317??? 88887878511 5120则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是p1?1?C3()0(1?)3?（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是
133110E(X)?(?200)??10??20??100???分
88888这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。
18．三棱锥A?BCD及其侧视图、俯视图如图所示。设M，N分别为线段AD，
AB的中点，P为线段BC上的点，且MN?NP。
（1）证明：P为线段BC的中点； （2）求二面角A?NP?M的余弦值。
A
N
MDP CB
解：（1）由三棱锥A?BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A?BCD中： 平面ABD?平面CBD，AB?AD?BD?CD?CB?2 设O为BD的中点，连接OA，OC
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于是OA?BD，OC?BD 所以BD?平面OAC?BD?AC
因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN//BD，又MN?NP，故
BD?NP
假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线 从而BD?平面ABC，这与?DBC?60矛盾 所以P为线段BC的中点
（2）以O为坐标原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,3)，M(?于是AN?(,0,?131313,0,)，N(,0,)，P(,,0) 22222212333)，PN?(0,?,)，MN?(1,0,0) 222设平面ANP和平面NPM的法向量分别为m?(x1,y1,z1)和n?(x2,y2,z2)
?13x?z1?0?1??AN?m?0?22由?，设z1?1，则m?(3,1,1) ?????3y?3z?0?PN?m?011??22?x2?0?MN?n?0??由?，设z2?1，则n?(0,1,1) ??33y2?z2?0????PN?n?0?22cosm,n?m?n210 ??5|m|?|n|5?210 5所以二面角A?NP?M的余弦值
19．设等差数列{an}的公差为d，点(an,bn)在函数f(x)?2的图象上（n?N*）。 （1）若a1??2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn； （2）若a1?1，函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2?x1，ln2
2019年四川省高考理科数学试卷及答案解析(word版)
