2009年硕士研究生入学统一考试数学二试题完整版
附答案分析及详解
一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.
x?x3(1) 函数f?x??的可去间断点的个数为
sin?x?A? 1 ?B? 2 ?C? 3 ?D? 无穷多个 【答案】C
x?x3【解析】由于f?x??,则当x取任何整数时,f?x?均无意义.
sin?x故f?x?的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是x?x3?0的解
x1,2,3?0,?1.
x?x31?3x21lim?lim?,x?0sin?xx?0?cos?x?x?x31?3x22lim?lim?, x?1sin?xx?1?cos?x?x?x31?3x22lim?lim?.x??1sin?xx??1?cos?x?故可去间断点为3个,即0,?1.
(2) 当x?0时,f?x??x?sinax与g?x??x2ln?1?bx?是等价无穷小,则
?A?a?1,b??【答案】A 【解析】 limx?01111 ?B?a?1,b? ?C?a??1,b?? ?D?a??1,b? 6666f(x)x?sinaxx?sinax?lim2?lim2 g(x)x?0xln(1?bx)x?0x?(?bx)1?acosaxa2sinax洛lim洛limx?0x?0?3bx2?6bx a2sinaxa3?lim???1,x?06b6b??axa?a3??6b,故排除B,C.
1?acosax存在,蕴含了1?acosax?0?x?0?,故a?1.排除D. 2x?0?3bx所以本题选A. 另外,lim(3) 设函数z?f?x,y?的全微分为dz?xdx?ydy,则点?0,0?
?A? 不是f?x,y?的连续点 ?B? 不是f?x,y?的极值点
?C? 是f?x,y?的极大值点 ?D? 是f?x,y?的极小值点 【答案】D
【解析】因dz?xdx?ydy可得
?z?z?x,?y. ?x?y?2z?2z?2z?2zA?2?1,?B???0,?C?2?1,
?x?x?y?y?x?y又在?0,0?处,
?z?z?0,?0,AC?B2?1?0, ?x?y故?0,0?为函数z?f(x,y)的一个极小值点.
(4) 设函数f?x,y?连续,则?dx?f?x,y?dy??dy?1x12224?yyf?x,y?dx?
?A? ?1dx?122224?xf?x,y?dy ?B?f?x,y?dx
21?21dx?4?xxf?x,y?dy
2y?C? ?1dy?11x4?y
2 ?D??dy?f?x,y?dx 【答案】C
12【解析】?dx?f(x,y)dy??dy?f(x,y)dx的积分区域为两部分：
xD1??(x,y)1?x?2,x?y?2?,D2??(x,y)1?y?2,y?x?4?y?,
将其写成一块D??(x,y)1?y?2,1?x?4?y?, 故二重积分可以表示为?21dy?4?y1f(x,y)dx,故答案为C.
(5) 若f???x?不变号,且曲线y?f?x?在点?1,1?上的曲率圆为x2?y2?2,则函数f?x?在区间
?1,2?内
?A? 有极值点,无零点 ?B? 无极值点,有零点
?C? 有极值点,有零点 ?D? 无极值点,无零点 【答案】B
【解析】由题意可知,f(x)是一个凸函数,即f??(x)?0,且在点(1,1)处的曲率
??|y??|(1?(y?))322?1,而f?(1)??1,由此可得,f??(1)??2. 2在[1,?2]上,f?(x)?f?(1)??1?0,即f(x)单调减少,没有极值点. 对于f(2)?f(1)?f?(?)??1?????(1,?2),(拉格朗日中值定理)
????f(2)?0而f(1)?1?0,由零点定理知,在[1,?2]上,f(x)有零点.故应选B.
（6）设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为：
则函数F?x???f?t?dt的图形为
0x?A??B?
?C?【答案】D
?D?
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由y?f(x)的图形可见，其图像与x轴及y轴、x?x0所围的图形的代数面积为所求函数F(x)，从而可得出几个方面的特征： ①x??0,1?时，F(x)?0，且单调递减。 ②x??1,2?时，F(x)单调递增。 ③x??2,3?时，F(x)为常函数。
④x???1,0?时，F(x)?0为线性函数，单调递增。 ⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为D。
（7）设A,B均为2阶矩阵，A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，若A?2,B?3，则分块矩阵
?OA???的伴随矩阵为 ?BO??O3B*??A??*?.
2AO???O3A*??C??*?.
O??2B
?O?B??*?3A?OD???*?3B2B*??. O?2A*??. 【答案】 B O?
【解析】根据CC??CE若C??CC?1,C?1?1CC? 分块矩阵??0A?0A?B0?的行列式?B0?（?1）2?2AB?2?3?6即分块矩阵可逆
?1???BB???0A?A?0A??1B?1??0??B0???0B0??B0???6??0?A?10??6????1AA?0? ????16?0??3B?????1????02B??0?? ?2A?0???3A??
?10（8）设A,P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP???01??00P?(?1,?2,?3),Q?(?1??2,?2,?3)，则QTAQ 为
?210?
?110?
?A?.??110?
??B?. ??120?
?
?002? ????002??
?200?
?100?C?.??010?
?? ?D?.???020?
? 【答案】 A
?002??
??002??
?100?Q?(??1??2,?2,??3)?(?1,?2,?3)?110?(?,?,?)E(1)，即： ??12312?001??0?0??，若
2??【解析】
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