超经典的考研数学考点与题型归类分析总结-线代

由天下分享时间：2025/2/9 13:26:40 加入收藏我要投稿点赞

线性代数部分

7.1 线代这门课的特点

线性代数与高数和概率相比，特点之一是知识点比较细碎。如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多；但线代更重要的特点在于知识点间的联系性很强。这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。

历年考研真题中线代部分的题目都很灵活，在一道大题甚至小题中就可以考察到多个知识点，而且过渡自然、结构巧妙；有相当一部分题目可以找出多种解法。出现这种情况当然与出题专家水平高有关，但内在原因还是在于线性代数这门课“知识点间联系性强”的特点。

所以我们在复习线代的策略中，有必要考虑一下怎样才能做到“融会贯通”。“融会”可以理解为设法找到不同知识点之间的内在相通之处；“贯通”可以理解为掌握前后知识点之间的顺承关系。这样做的目的就在于——当看到题目的条件和结论、推测出其中涉及到的知识点时立刻就能想到与之有关联的其他知识点队列，从而大大提高解题效率、增加得分胜算。

这样的复习策略虽然也能够用于高数和概率，但在线代复习中的作用体现的最为明显。以第三章《向量》、第四章《线性方程组》为例，“线性相关”、“线性表示”的概念与线性方程组的某些性质定理之间存在着相互推导和相互印证的关系；出题专家在编制题目时常常利用这些联系将两部分的内容结合起来出题，比如在历年真题中出现频率很高的性质“齐次方程组是否有零解对应于A的列向量组是否线性相关；非齐次方程组Ax=b是否有解对应于向量b是否可由A的列向量线性表示”。

再如一个貌似考察向量组线性无关的题目，做起来以后才发现实际考的是矩阵秩或行列式的内容，题眼就在于性质“方阵A可逆?|A|=0?A的列向量组线性无关?r(A)=n”，依靠这一性质建立起了线性无关和矩阵秩两个知识点间的联系。

以上简单分析了一下线代这门课本身的特点，在下面的小结中列出了对每章中一些具体知识点内在联系的分析和实战过程中发现的一些常用的和好用的性质，作为对具体知识点的讨论。

正是因为具有这样的特点，线代与高数、概率相比，从难易程度上讲正是一门“学得不好就显得特别的难，一旦学好以后就会变得特别容易”的科目，所以实际上把时间花在线

代复习上很划算；即使你现在认为自己的线代水平还不好，那么也不应该有放弃线代的打算，因为，在一门“已经学得差不多”的课上继续投入时间的效果肯定要比投入等量时间在一门“学得不好但有更大提分空间”的课上的效果好，也就是说，试图把一门满分是100分、现在水平是80分的课提高到85分，一般要比把一门满分100现在只能拿40分的课提高10分、20分还要难得多。 7.2

线代第一章《行列式》、第二章《矩阵》

第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。第一章行列式的核心内容是求行列式，包括具体（数字型）行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和n阶两种类型；主要方法是应用行列式按行\\列展开定理和化为上下三角行列式求解，还可能用到的方法包括：行列式的定义（n阶行列式的值为取自不同行、不同列的n个元素的乘积的代数和）、性质|A|??1?2????n（其中?i为

矩阵A的特征值）、行列式的性质（如“数乘行列式等于用此数乘一行列式中的某一行或某一列”）。对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于

AT、A?、A?1等的相关

性质，在下面对第二章的讨论中会有小结。

第二章矩阵中的知识点很细碎，但好在每个小知识点包括的内容都不多，没有什么深度。由历年考研真题可见，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、A，A，AT??1的性质、矩阵可逆的判定条件、矩阵秩的性质、某些结构特殊的矩

阵和矩阵初等变换技巧等。

所以复习本章的难度主要在于如何保证复习的全面细致，一些做题时用到的性质和方法结合具体的题目就题论题才有最佳的效果，故在后面的评题中会有更充分的讨论；下面的表格分类列出了逆矩阵

行列式性质 A?1、伴随矩阵A?、矩阵转置AT的性质以供区别记忆：

特征值性质（阵?为矩运算性质秩的性质 A的特(AT)T?A r(AT)?r(A) 征值）转置矩阵T A|AT|?|A| (kA)T?kATr(AT)?r(ATA) r(ATA)?r(A) (AB)T?BTAT (A?B)T?BT?AT 逆矩阵A?1 1|A|?|A| ?1有特征值 1 ?有特征值伴随矩阵 A?|A|?|A|?n?1 |A| ? A?、AT、A?1三者之间有一个即好记又好用的性质 (AT)?1?(A?1)T (A?)?1?(A?1)? (AT)??(A?)T 数乘矩阵?n.r(A)?n?r(A?)??1.r(A)?n?1 ?0.r(A)?n?1?kA之积|kA|?kA n kA 有特r(A?B)?r(A)?r(B) r(AB)?min{r(A),r(B)} 、矩阵AB |AB|?|A||B|征值k?，及矩阵之和aA?bE有特征值AB?0则有：A?Ba??b r(A)?r(B)?n 若A是可逆矩阵则有r(AB)?r(B)；同样，若B 7.3

线代第三章《向量》、第四章《线性方程组》

可逆则有r(AB)?r(A) 线代第三章《向量》、第四章《线性方程组》是整个线性代数部分的核心内容，相比之下，前两章行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对第三、四章核心内容的扩展。

向量与线性方程组两章的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两章最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

解线性方程组可以看作是这两章内容的出发点和目标。线性方程组

?a11x1?a12x2????a1nxn?b1??a21x1?a22x2????a2nxn?b2的系数矩阵是m行n列的，其有两种形式，一种是?ax?ax????ax?bm22mnnn?m11矩

阵

形

式

Ax?b；其中

A是系数矩阵

?a11a12???a1n??a?aa222n??21????????am1am2???amn?,

?x1??x?x??2?????????xn?,

?b1??b?b??2?????????bn?；另一种是向量形式

?a1i??a??2i?a?x1a1?x2a2?????xnan?b，其中i????? i?1,2???n。向量就这样???ani?被引入了，可能早期的数学家研究向量就是为了更好的研究解方程组的问题。

先讨论其次线性方程组与线性相关、无关的联系。齐次线性方程组

x1a1?x2a2?????xnan?0可以直接看出是一定有解的，因为当

x1?x2?????xn?0式等式一定成立，印证了第三章向量部分的一条性质“0向

量可由任何向量线性表示”，即当定存在一组数k1,k2??k1a1?k2a2?????knan中的??0时一

???kn使等式成立，至少在ki全为0时可以满足。

齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：1.有唯一零解；2.有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式x1a1?x2a2?????xnan?0中的xi只能全

???an是否线性相关\\无关

为0才能使等式成立，而第三章向量部分中判断向量组a1,a2也正是由这个等式定义出的。线性相关的定义为：设a1,a2在一组不为零的数k1,k2则称向量组a1,a2???an为一组向量，如果存

???kn使得等式k1a1?k2a2?????knan?0成立，

???an线性相关；如果等式当且仅当k1?k2?????kn?0时

???an线性无关。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐

成立，则称向量组a1,a2次线性方程组

Ax?0是否有非零解对应于系数矩阵A的列向量组是否线性相关。（这些

联系肯定不是简单的巧合，很有可能正是数学史上前后相承的发展，说不定线性相关\\无关

的概念正是数学家在研究线性方程组问题的过程中发现的。其实如果按照数学发展史的进程来编制数学教科书的话，虽然逻辑性和系统性会不如现在的分章节教材，但肯定会大大方便学习者的理解和领悟，因为这更接近于人思维自然进展的节奏，非常有利于学习者认识各种概念定理的来龙去脉，而“不明白自己学的到底是什么”正是很多同学对数学感到困惑的根源。即使不能做到编制教材，也可以在教材中做一些介绍）。

假如线性相关\\无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的，那同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组a1,a2性无关组中有

???an组成的矩阵A有r(A)?n说明向量组的极大线

a1,a2???an线性无关，也即等式

n个向量，即

k1a1?k2a2?????knan?0只有0解。所以，经过“秩—〉线性相关\\无关—〉

线性方程组解的判定”的逻辑链条，由

r(A)?n就可以判定齐次方程组

x1a1?x2a2?????xnan?0只有0解。当r(A)?n时，按照齐次线性方程

组解的判定法则，此时有非零解，且有n-r个线性无关的解向量。这又与另一条性质相和：如果齐次线性方程组方程个数小于未知量个数则必有非零解。若方程组

Ax?0的系数矩

阵是m行n列的，则方程个数小于未知量个数时有m

对于非齐次方程组来说，其解的判定定理与“线性表示”的概念前后联系：非齐次方程组