因为 当故
x?0limx?0x?1sinx；
时，为无穷小量，
xsin1x为有界量，
limx?sinx?01?0x；
所以原式=0。 例24：求极限解：因为
sin1?1x1xlimx??1?x3xsin 1x所以
sin是有界函数
x1?x3limx???0
故
x1?x3在x??时是无穷小量。
利用无穷小量与有界函数的乘积还是无穷小量。 所以
xsinlimx??1x?01?x3.
10. 利用等价无穷小的代换求极限
利用等价无穷小代换求函数的极限时，一般只在以乘除形式出现时使用，若以和、差形式出现时，不要轻易代换，因为经此代换后，往往会改变无穷小之比的阶数，故此慎用为好。常见等价无穷
1
小量(
x?0)
sinx~tanx~ln(1?x)~ex?1~arcsinx~arctanx~x等
性质:设价无穷小有重要
?lim??~?,?~?''且
?'lim'?存在，则
=
?'lim'?,这个性质表明,求两个无穷小量之比
的极限时,分子,分母均可用等价无穷小量之比的极限时,分子,分母均可用等价无穷小量代替,从而使计算大大简化 。 例25：极限
limx?0i
tg3xsin5x
sin5x~5x解：当x?0时，tg3x~3x,
例26：求极限
limx?0,
tg3x3x3??limx?0sin5x5x5limx?02sinx?sin2xx3lim
解：
x?02sinx?sin2xx3 =
=
x?0limx?0sinx2(1?cosx)?xx2x2lim1?2?1x?0x
x3错误的解法是：lim2sinx?sin2x?lim2x?2x?0 (错在对
x3x?0加减中的某一项进行了等价无穷小代换) 11. 利用级数收敛的必要条件求极限
1
i
给出一数列u ,对应一个级数若能判定
n?un?1?n此级数收敛, 则必有limun??n?0。由于判别级数收敛
的方法较多, 因而用这种方法判定一些以零为极限的数列极限较多方便。 例27：求极限
lima(a?1)...(a?n?1)nx,n??n!?x?(?1,1)
解： 设级数?n?0a(a?1)...(a?n?1)nxn! 其中
un?1?a(a?1)...(a?n?1)nun?xn!
a(a?1)..(a?n?1)(a?n)n?1x(n?1)!n?1n
limuun???limn??a?nx?x?1n?1由达朗贝尔判别法知级数收敛,再由级数收敛的必要条件
limun?0n??可知：
x?(?1,1)
例28：求极限
lima(a?1)...(a?n?1)nx?0,n??n!
2n?n!limn??nn
解：设
?nn?12n?n!un?limn??nn级数?u为2n项级数。
1
由比值审敛法：
un?12n?1?(n?1)!nnlim2?lim?nn??n??un(n?1)!2?n!lim2(n??
=
n)nn?1
=lim2?n??11(1?)nn
=
2?1e
?所以
?n?12n?n!nn收敛，
故
12 . 利用极限定义验证极限
用极限定义验证极限，是极限问题的一个难点。做这类题目的关键是对任意给定的正数?，如何找出定义中所说的N或?确实存在。这实际上是利用逆推的方法论证问题，可以培养逆向思维能力。 例27 ：
n5lim?1n???n5?n3?12n?n!limn??nn=0
1
证：任给??0要找N,使n?N时，有
n5?1??n5?n3?1
即
n3?1??53n?n?1，
显然，当n较大时，如n?2，有
n5?1?53n?n?1n3?1n3?111n5(1?2?5)n5(1?2)nn2
,
= 因此要使
n3?1??53n?n?1413n2成立，
41??23n当n>=2时，只要
43?即
n2?43?或n?4])3?。
这样一来，取N?max(2,[则有n?2及n?43?,则当n>N时，
,
因此上述各式成立。证毕。
13. 涉及单侧极限与双侧极限的问题
1
数学分析中求极限的方法总结
