斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移 10 m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°＝1.2）
AE，【分析】在BC上取点F，使∠FAE＝50°，作FH⊥AD，根据坡度的概念求出BE、根据正切的定义求出AH，结合图形计算，得到答案．
解：在BC上取点F，使∠FAE＝50°，过点F作FH⊥AD于H， ∵BF∥EH，BE⊥AD，FH⊥AD， ∴四边形BEHF为矩形， ∴BF＝EH，BE＝FH， ∵斜坡AB的坡比为12：5， ∴
＝
，
设BE＝12x，则AE＝5x，
由勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即（5x）2+（12x）2＝262， 解得，x＝2， ∴AE＝10，BE＝24， ∴FH＝BE＝24，
在Rt△FAH中，tan∠FAH＝∴AH＝
＝20，
，
∴BF＝EH＝AH﹣AE＝10，
∴坡顶B沿BC至少向右移10m时，才能确保山体不滑坡， 故答案为：10．
16．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝8，过点D作DC⊥BE于点C，则阴影部分的面积是
π﹣8
．
【分析】连接OA，易求得圆O的半径为8，扇形的圆心角的度数，然后根据S阴影＝S△
AOB+S
扇形OAD
+S扇形ODE﹣S△BCD即可得到结论．
解：连接OA，
∵∠ABO＝60°，OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB＝8， ∴⊙O的半径为8， ∵AD∥OB，
∴∠DAO＝∠AOB＝60°， ∵OA＝OD， ∴∠AOD＝60°，
∵∠AOB＝∠AOD＝60°， ∴∠DOE＝60°， ∵DC⊥BE于点C， ∴CD＝
OD＝4
，OC＝
＝4，
∴BC＝8+4＝12，
S阴影＝S△AOB+S扇形OAD+S扇形ODE﹣S△BCD ＝×＝
﹣8
+2×
﹣
故答案为﹣8．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x y
﹣5 6
﹣4 0
﹣2 ﹣6
0 ﹣4
2 6
下列结论： ①a＞0；
②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；
③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2； ④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是 ①③④ ．（把所有正确结论的序号都填上）
【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可．
解：将（﹣4，0）（0，﹣4）（2，6）代入y＝ax2+bx+c得，
，解得，
，
∴抛物线的关系式为y＝x2+3x﹣4， a＝1＞0，因此①正确；
对称轴为x＝﹣，即当x＝﹣时，函数的值最小，因此②不正确；
把（﹣8，y1）（8，y2）代入关系式得，y1＝64﹣24﹣4＝36，y2＝64+24﹣4＝84，因此③正确；
方程ax2+bx+c＝﹣5，也就是x2+3x﹣4＝﹣5，即方x2+3x+1＝0，由b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0可得x2+3x+1＝0有两个不相等的实数根，因此④正确； 正确的结论有：①③④， 故答案为：①③④．
18．如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都
是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则a4+a200＝ 20110 ．
【分析】观察“杨辉三角”可知第n个数记为an＝（1+2+…+n）＝n（n+1），依此求出a4，a200，再相加即可求解．
解：观察“杨辉三角”可知第n个数记为an＝（1+2+…+n）＝n（n+1）， 则a4+a200＝×4×（4+1）+×200×（200+1）＝20110． 故答案为：20110．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（1）化简：（a﹣1+（2）解不等式：
）÷
．
；
﹣1＜
【分析】（1）先计算括号内异分母分式的加法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得；（2）根据解一元一次不等式的基本步骤依次计算可得． 解：（1）原式＝[＝（＝＝
（2）去分母，得：4（x+1）﹣12＜3（x﹣1）， 去括号，得：4x+4﹣12＜3x﹣3，
；
?
+
）?
+
]÷
移项，得：4x﹣3x＜﹣3﹣4+12， 合并同类项，得：x＜5．
20．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（3，a），点B（14﹣2a，2）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，求△ACD的面积．
【分析】（1）点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上，则3×a＝（14﹣2a）×2，即可求解；
（2）a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2），求出一次函数的表达式为：y＝﹣x+6，则点C（0，6），故OC＝6，进而求解．
解：（1）∵点A（3，a），点B（14﹣2a，2）在反比例函数上， ∴3×a＝（14﹣2a）×2，解得：a＝4，则m＝3×4＝12， 故反比例函数的表达式为：y＝
（2）∵a＝4，故点A、B的坐标分别为（3，4）、（6，2）， 设直线AB的表达式为：y＝kx+b，则
，解得
，
；
故一次函数的表达式为：y＝﹣x+6；
当x＝0时，y＝6，故点C（0，6），故OC＝6， 而点D为点C关于原点O的对称点，则CD＝2OC＝12， △ACD的面积＝×CD?xA＝×12×3＝18．
2020年山东省泰安市中考数学试卷 (解析版)
