2008考研数学二真题及答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）设f(x)?x(x?1)(x?2)，则f(x)的零点个数为（ ）
2'?A?0 ?B?1. ?C?2 ?D?3
（2）曲线方程为y?f(x)函数在区间[0,a]上有连续导数，则定积分 ?A?曲边梯形ABCD面积.
?a0aft(x)dx（ ）
?B?梯形ABCD面积. ?C?曲边三角形ACD面积. ?D?三角形ACD面积.
（3）在下列微分方程中，以y?C1e?C2cos2x?C3sin2x（C1,C2,C3为任意常数）为
x
通解的是（ ）
?A?y'''?y''?4y'?4y?0 ?C?y'''?y''?4y'?4y?0
?B?y?y?4y?4y?0
''''''
?D?y'''?y''?4y'?4y?0
（5）设函数f(x)在(??,??)内单调有界，?xn?为数列，下列命题正确的是（ ）
?A?若?xn?收敛，则?f(xn)?收敛. ?B?若?xn?单调，则?f(xn)?收敛. ?C?若?f(xn)?收敛，则?xn?收敛.
（6）设函数f连续，若F(u,v)?Duv
?D?若?f(xn)?单调，则?xn?收敛.
2??f(x2?y2)x?y2dxdy，其中区域Duv为图中阴影部分，则
?F? ?uvf(u2) uv?C?vf(u) ?D?f(u)
u?A?vf(u2) ?B? 3（7）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若A?0，则（ ）
?A?E?A不可逆，E?A不可逆. ?C?E?A可逆，E?A可逆.
（8）设A??
?B?E?A不可逆，E?A可逆. ?D?E?A可逆，E?A不可逆.
?12??，则在实数域上与A合同的矩阵为（ ） 21??
??21?A????. ?1?2??2?1?B????. ??12? ?D???C???21??. 12??
?1?2??.
?21??二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数f(x)连续，且limx?01?cos[xf(x)](e?1)f(x)x2?1，则f(0)?____.
（10）微分方程(y?xe)dx?xdy?0的通解是y?____.
（11）曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????. （12）曲线y?(x?5)x的拐点坐标为______. （13）设z??232?x?z?y?，则??x?x?xy(1,2)?____.
（14）设3阶矩阵A的特征值为2,3,?.若行列式2A??48，则??___.
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)（本题满分9分）
求极限limx?0??sinx?sin?sinx???sinx.
x4(16)（本题满分10分）
x?x(t)??设函数y?y(x)由参数方程?确定，其中x(t)是初值问题t2y??ln(1?u)du?0??dx?x?2y??2te?0的解.求2. ?dt?x?xt?0?0? (17)（本题满分9分）求积分 (18)（本题满分11分）
求二重积分
?1xarcsinx1?x20dx.
??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}
D(19)（本题满分11分）
设f(x)是区间?0,???上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)?1.对任意的
t??0,???，直线x?0,x?t，曲线y?f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周
生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式. (20)（本题满分11分）
(1) 证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点
??[a,b]，使得
?baf(x)dx?f(?)(b?a)
(2)若函数?(x)具有二阶导数，且满足?(2)??(1),?(2)?一点??(1,3),使得???(?)?0 （21）（本题满分11分）
??(x)dx，证明至少存在
23求函数u?x?y?z在约束条件z?x?y和x?y?z?4下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分）
22222?2a1?2a2aO设矩阵A???OO?a2?T???，现矩阵A满足方程AX?B，其中1??2a?n?nX??x1,L,xn?，B??1,0,L,0?，
（1）求证A??n?1?a；
n（2）a为何值，方程组有唯一解，并求x1； （3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分）
设A为3阶矩阵，?1,?2为A的分别属于特征值?1,1特征向量，向量?3满足
A?3??2??3，
（1）证明?1,?2,?3线性无关； （2）令P???1,?2,?3?，求P?1AP. 参考答案 一、选择题 (1)【答案】D
【详解】因为f(0)?f(1)?f(2)?0，由罗尔定理知至少有?1?(0,1)，?2?(1,2)使
f?(?1)?f?(?2)?0，所以f?(x)至少有两个零点. 又f?(x)中含有因子x，故x?0也是
f?(x)的零点， D正确.
本题的难度值为0.719. (2)【答案】C 【详解】
?a0axf?(x)dx??xdf(x)?xf(x)0??f(x)dx?af(a)??f(x)dx
000aaa其中af(a)是矩形ABOC面积，边三角形的面积．
本题的难度值为0.829.
(3)【答案】D
?a0f(x)dx为曲边梯形ABOD的面积，所以?xf?(x)dx为曲
0a【详解】由微分方程的通解中含有e、cos2x、sin2x知齐次线性方程所对应的特征方程有根r?1,r??2i，所以特征方程为(r?1)(r?2i)(r?2i)?0，即r?r?4r?4?0. 故以已知函数为通解的微分方程是y????y???y??4?0 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】A
【详解】x?0,x?1时f(x)无定义，故x?0,x?1是函数的间断点
32xf(x)?lim因为 lim??x?0x?0lnx11x?lim?lim ??x?0x?0cscx|x?1|?cscxcotxsin2xx??lim??lim?0
x?0?xcosxx?0?cosx同理 limf(x)?0 ?x?0f(x)?lim又 lim??x?1x?1lnx1???limsinx?lim?x?1??sin1?sin1 ?x?1x?1x??所以 x?0是可去间断点，x?1是跳跃间断点. 本题的难度值为0.486.
(5)【答案】B
【详解】因为f(x)在(??,??)内单调有界，且{xn}单调. 所以{f(xn)}单调且有界. 故
{f(xn)}一定存在极限.
本题的难度值为0.537. (6)【答案】A
【详解】用极坐标得 F?u,v??所以
??Df?u2?v2?u2?v2dudv??dv?0vuf(r2)r1rdr?v?f(r2)dr
1u?F?vf?u2? ?u本题的难度值为0.638. (7) 【答案】C
【详解】(E?A)(E?A?A)?E?A?E，(E?A)(E?A?A)?E?A?E 故E?A,E?A均可逆． 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】D
【详解】记D??2323?1?2??，
??21?2????1??4，又?E?A?2则
?E?D???12??1?2?2??1??1????1??4
2所以A和D有相同的特征多项式，所以A和D有相同的特征值.
又A和D为同阶实对称矩阵，所以A和D相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2
2sin2[xf(x)2]2sin2[xf(x)2]?f(x)【详解】lim ?lim?lim22x2x?0x?0x?0xf(x)[xf(x)2]?4(e?1)f(x)1?cos[xf(x)]11?limf(x)?f(0)?1 2x?02所以 f(0)?2 本题的难度值为0.828. (10)【答案】x(?e?x?C)
2008考研数学二真题及答案
