函数的奇偶性与周期性

函数的奇偶性与周期性

时间：45分钟 分值：100分

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．下列函数中是偶函数的是

①f(x)＝lg(1＋x2) ②g(x)＝2－|x|

?x＋2，x<－1，

( )

?

③h(x)＝tan2x ④s(x)＝?0，|x|≤1，

??－x＋2，x>1.

B．①④ A．①②

D．①②④ C．②④

解析：f(x)，g(x)，h(x)显然为偶、偶、奇函数．

对于s(x)，

当x<－1时，s(x)＝x＋2，s(－x)＝x＋2＝s(x)． 当x>1时，s(x)＝－x＋2，s(－x)＝－x＋2＝s(x)；

|x|≤1时，s(x)＝0，s(－x)＝0＝s(x)．

∴s(x)也为偶函数．

答案：D

( ) 2．设f(x)是增函数，则下列结论一定正确的是

1

B．y＝是减函数 A．y＝[f(x)]2是增函数

f(x)

D．y＝|f(x)|是增函数 C．y＝－f(x)是减函数

解析：根据函数单调性定义判定，设x1

则f(x1)－f(x2)，

11

但[f(x1)]2<[f(x2)]2，>，

f(x1)f(x2)

|f(x1)|<|f(x2)|，三个关系式不一定成立．

答案：C

( ) 3．已知f(x)＝lg(x2＋1－ax)是一个奇函数，则实数a的值是

A．1 B．－1 C．10 D．±1

解析：据题意知：f(x)＋f(－x)＝lg(x2＋1－ax)＋lg(x2＋1＋ax)＝0，

即lg[(x2＋1)2－(ax)2]＝lg[(1－a2)x2＋1]＝0，

即(1－a2)x2＝0，而x不恒为0，

则必有1－a2＝0?a＝±1，代入检验，函数定义域均关于原点对称．

答案：D

4．(2008·福建高考)函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )

A．3 B．0 C．－1 D．－2

解析：∵f(a)＝a3＋sina＋1＝2，

∴a3＋sina＝1，

而f(－a)＝－a3－sina＋1＝－1＋1＝0，故选B.

答案：B

5．(2009·全国卷Ⅰ)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则( )

A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函数 解析：由f(x＋1)为奇函数，可知f(x)关于点(1,0)对称，

f(x－1)为奇函数，可知f(x)关于点(－1,0)对称，

则f(x)为周期函数且T＝4， 则f(x＋3)＝f(x－1)，故选D.

π

(排除法)若取函数f(x)＝sinπx，g(x)＝cosx，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，

2

f(x)＝sinπx左、右分别移1个单位都是奇函数，

π

g(x)＝cosx左、右分别移1个单位也都是奇函数，所以排除A、B.

2

又f(x)的周期为2，g(x)的周期为4，所以排除C，故选D.

答案：D

6．(2009·四川高考)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f(f(

5

( ) ))的值是

2

1 B. A．0

25 D. C．1

2

解析：由已知令x＝0，则f(0)＝0，11111111

由已知令x＝－，得－f()＝f(－)＝f()，∴f()＝0.

22222222

11331

又令x＝，得f()＝f()，

2222213

又∵f()＝0，∴f()＝0.

2233553

再令x＝，得f()＝f()，

2222235

∵f()＝0，∴f()＝0.

22

5

∴f(f())＝f(0)＝0.

2

答案：A

二、填空题(每小题5分，共20分)1

7．(2009·重庆高考)若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝________.

2x－1

解析：∵f(x)是{x|x≠0}上的奇函数，

1

∴f(－1)＝－f(1)．∴a＝.

21

答案：

2

8．(2008·上海高

考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是____

______．

图1

解析：根据题意画出函数f(x)的草图，由图象可知f(x)>0的x的取值范围是－11.

答案：(－1,0)∪(1，＋∞)

9．设周期为4的奇函数f(x)的定义域为R，且当x∈[4,6)时，f(x)＝2－x2，则f(－1)的值为__________．

解析：∵f(－1)＝－f(1)＝－f(1＋4)＝－f(5)＝－(2－52)＝23.

答案：23

10．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，且f(－4)＝－2，当x1，x

f(x1)－f(x2)

2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有>0.则给出下列命题：

x1－x2

①f(2008)＝－2；

②函数y＝f(x)图像的一条对称轴为x＝－6； ③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为减函数；

④方程f(x)＝0在[－9,9]上有4个根． 其中所有正确命题的序号为________．

解析：当x＝－3时，f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)＝2f(3)，∴f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)，即函数y＝f(x)是周期

为6的偶函数，∴x＝－6为其一条对称轴；又f(－4)＝－2，∴f(2008)＝f(334×6＋4)＝f(4)＝f(－4)＝－2；由题意函数y＝f(x)在区间[0,3]上单调递增，又函数y＝f(x)是周期为6的偶函数，∴y＝f(x)在[－9，－6]上单

调递减；∵f(3)＝f(9)＝f(－3)＝f(－9)＝0，∴f(x)＝0在区间[－9,9]上有4个根，综上应填①②③④.

答案：①②③④ 三、解答题(共50分)

11．(15分)已知函数y＝f(x)(x∈R且x≠0)，对任意非零实数x1，x2恒有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，试判断函

数f(x)的奇偶性．

解：令x1＝－1，x2＝x得：

f(－x)＝f(－1)＋f(x) ①

再令x1＝1，x2＝－1得：

f(－1)＝f(1)＋f(－1)，即f(1)＝0 ②

再取x1＝x2＝－1得：

f(1)＝f(－1)＋f(－1) ③

由②、③得：f(－1)＝0， 代入①得：f(－x)＝f(x)

∴f(x)为偶函数．

12．(15分)设f(x)是周期函数，且最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x，试

求函数f(x)在区间[－1,3]上的表达式． 解：∵f(－x)＝f(2－x)＝f[1＋(1－x)] ＝f[1－(1－x)]＝f(x)，∴f(x)是偶函数．

于是由“当－1≤x≤0时，f(x)＝－x”可知当0≤x≤1时，f(x)＝x； 进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0?f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2；

当2≤x≤3时，0≤x－2≤1?f(x)＝f(x－2)＝x－2.

13．(20分)(2009·湖北模拟)已知函数f(x)＝x|x＋m|＋n，其中m，n∈R.

(Ⅰ)求证：m2＋n2＝0是f(x)是奇函数的充要条件；

(Ⅱ)若常数n＝－4，且f(x)<0对任意x∈[0,1]恒成立，求m的取值范围．

证明：(Ⅰ)充分性：若m2＋n2＝0，则m＝n＝0，

∴f(x)＝x|x|，

又有f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

必要性：若f(x)为奇函数，∵x∈R，∴f(0)＝0，即n＝0，∴f(x)＝x|x＋m|.

由f(1)＝－f(－1)，有|m＋1|＝|m－1|，∴m＝0. ∴f(x)为奇函数，则m＝n＝0，即m2＋n2＝0. ∴m2＋n2＝0是f(x)为奇函数的充要条件． 解：(Ⅱ)若x＝0时，m∈R，f(x)<0恒成立；

n

若x∈(0,1]时，原不等式可变形为|x＋m|<－.x

nn

即－x＋

4

)min ①?m<(－x－－x

∴只需对x∈(0,1]，满足?－4

m>(－x＋)max ②?x

4

对①式f1(x)＝－x＋在(0,1]上单调递减，

x

∴m

4

对②式，设f2(x)＝－x－，根据单调函数的定义可证明f2(x)在(0,1]上单调递增，

x

∴f2(x)max＝f(1)，∴m>f2(1)＝－5 ④

由③④知－5