§2.3.1 数学归纳法（第一课时）
【教材分析】数学归纳法是以解决与正整数有关问题的一种推理方法，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是证明与正整数有关问题的有力工具，本节课是数学归纳法第一课时，主要是让学生了解数学归纳法原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的实际应用问题。
【学情分析】学生在学习本节之前已经学习过归纳推理，以及一些简单的数学证明方法，并且已经开始使用与正整数有关的结论（在求曲边梯形面积中），但学生只是停留在认知阶段，对问题本质没有作更进一步的研究。另外高二学生经过了一年半的高中学习之后，已初步具有了发现和探究问题的能力，这为本节学习数学归纳法奠定了一定的基础。 【教学目标】
１、知识与技能目标：
（1）了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题；
（2）进一步发展猜想归纳能力和创新能力，经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。 2、过程与方法目标：
（1）通过对例题的探究，体会由猜想到证明的数学方法；
（2）努力创设积极思考、大胆质疑的课堂愉悦情境，提高学习兴趣和课堂效率。 3、情感态度与价值观目标：
通过对数学归纳法的学习，进一步感受数学来源于生活，并形成严谨的科学 态度和勤于思考、善于观察的学习习惯。
【教学重点】数学归纳法产生过程的分析和对数学归纳法的证题步骤的掌握。 【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解。
【教法准备】讲授法，引导发现法，合作探究法。 【教具准备】传统板书与多媒体辅助教学相结合。 【教学过程】
一、创设情境，引出课题
1、复习旧知，铺垫新知： （1）不完全归纳法：
地主花重金请了一名先生教儿子识字，第一天学了“一”，第二天学了“二”，之后，地主儿子想：“一”是一横，“二”是二横，那“三”肯定是三横，第三天果不其然是三横，于是地主儿子对地主说：不必学了，很简单，已经全会了。地主大喜，为吹嘘儿子聪明，大摆宴席。席间，一乡绅想讨好地主，就说让地主儿子给他写个名帖，没想到这让地主儿子出尽了洋相，因为那位乡绅的名字叫“万百千”。
（2）完全归纳法：
大家来看，我这里有一盒粉笔，我逐根进行抽取。抽出第一根是白色的，抽出第二根也是白色的，请问怎样验证盒中的其他粉笔也都是白色的？
（逐一取出剩下的粉笔，进行验证）
注：对于以上二例的结果是非常明显的，教学中主要用以上二题引出数学归纳法。 师：①（出示投影）不完全归纳法→结论不可靠；
完全归纳法→结论可靠。
②以上问题都是与正整数有关的问题，从上例可以看出，要想正确的解决一个与此有关的问题，就可靠性而言，应该选用第几种方法？（完全归纳法）
2、问题情境，方法引入：
21?2?3情境一：1?；
62?3?5221?2?
63?4?712?22?32?6；
4?5?91?2?3?4?；
622225?6?111?2?3?4?5?；
622222……
思考：①第n个等式，应怎样表示？
n(n?1)(2n?1)（1?2?3?…+n?）
62222②上述结论一定可靠吗？能完成证明吗？
注：①对于第一个问题，由于学生在学习求曲边梯形面积时已经用过，再结合归
纳推理，学生很容易得出结论；
②第二个问题，学生利用现有知识，无法完成证明。（可以让学生尝试运用完全归纳法，并点题）
师：在上面的解答中，我们只通过有限的步骤就得出了结论，这样的结论不一定可靠，用的是不完全归纳法；而要使结论可靠，需要用到完全归纳法，但逐一去验证又很难完成，能否找出一种方法，既使步骤有限，又使结论可靠呢？大家想不想知道这种方法？
（追问引出课题：数学归纳法）
②其实这种方法来源于生活，请同学们看多米诺骨牌的视频： 情境二：（播放多米诺骨牌视频） 问：怎样才能让多米诺骨牌全部倒下？ 二、师生合作，探究新知：
探究一：让所有的多米诺骨牌全部倒下，必须具备什么条件？ 条件一：第一张骨牌倒下；
条件二：任意相邻的两张骨牌，前一张倒下一定导致后一张倒下。 注：此问题由学生合作交流完成，必要时，教师重新播发视频或给予提示。 探究二：同学们在看完多米诺骨牌视频后，是否对证明
12?22?32?…+n2?n(n?1)(2n?1)有些启发？
6（证明本题对任意正整数都成立相当于验证让骨牌全部倒下的条件） 注：通过以上合作交流，以及使骨牌全部倒下的两个条件，此时，师生共同探究得到解决引例的方法：
（1）第一块骨牌倒下相当于证明当n?1时，命题成立；
（2）对于任一块骨牌倒下相邻的后一块也倒下，更一般地，相当于当
n?k(k?1,k?N*)时命题成立，证明当n?k?1时命题也成立。
师：（投影）证明12?22?32?…+n2?（1）证明当n?1时，命题成立；
（2）假设当n?k(k?1,k?N*)时命题成立，证明当n?k?1时命题也成立。 探究三：第一块骨牌不倒行不行？假如从第二块或第三块骨牌开始将骨牌推倒，结果会是怎样？（第一块骨牌必须倒，才能让所有的骨牌倒下。如果从第二块或第三块开始倒，那么只能让该块骨牌后面的全部倒下。）
注：此问题说明第一块骨牌倒下对全部骨牌倒下的重要性，同时也说明在证明与正整数有关问题时，n0是使命题成立的最小正整数，n0不一定取1，也可以取其它正整数。
师：（板书） “数学归纳法”
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0(n0?N*)时命题成立；
（2）（归纳递推）假设n?k(k?n0,k?N*)时命题成立，证明当n?k?1时，命
题也成立。
只要完成以上两个步骤，就可以判定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。 上述方法叫做数学归纳法。 三、解答例题，初步应用
n(n?1)(2n?1)的两个步骤：
6n(n?1)(2n?1)*1?2?3?…+n?(n?N) 例1、用数学归纳法证明
62222证明：（1）当n?1时，左边?12?1，右边?1?(1?1)?(2?1?1)?1，等式成立；
6（2）假设当当n?k(k?1,k?N*)时，等式成立，即：
12?22?32?…+k2?k(k?1)(2k?1)，
6则当n=k+1时，
12?22?32?…+k2?(k?1)2?k(k?1)(2k?1)?(k?1)26
(k?1)(2k2?7k?6)?6(k?1)(k?2)(2k?3)?6(k?1)[(k?1)?1][2(k?1)?1]?6即：当n?k?1时，等式成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n?N*都成立。
注：上例让学生独立完成，师板书写现完整过程，以突出数学归纳法证题的一般
步骤。
练习：1、课本P95、1（复习等差数列的定义式：如an+1-an=d,(n∈N+) 2、用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一
步证明中的起始值n0应取（ ）
A、2 B、3 C、5 D、6
3、用数学归纳法证明：1?111??????n?n (n?N? ,n?1) 232?11，…，计算S1，
(3n?2)(3n?1) 第一步要证明的不等式是 。
例2、已知数列
111，，4?77?101?4，…，
数学归纳法教学设计(第一节教案)
