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概率论与数理统计要点复习

由天下分享时间：2025/2/2 18:31:22 加入收藏我要投稿点赞

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概率论与数理统计复习资料

第一章随机事件与概率

1．事件的关系 A?B A?B AB A?B A ? ? AB??

(1) 包含：若事件A发生，一定导致事件B发生，那么，称事件B包含事件A，记作A?B(或B?A)．

(2) 相等：若两事件A与B相互包含，即A?B且B?A，那么，称事件A与B相等，记作A?B． (3) 和事件：“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的

AA2,L,An和事件，记作A?B；“n个事件1,中至少有一事件发生”这一事件称为）． (4) 积事件：“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件，

AA2,L,An记作A?B(简记为AB)；“n个事件1,同时发生”这一事件称为

AiIA?A?L?AAALA2n（简记为12n或i?1的积事件，记作1)． (5) 互不相容：若事件A和B不能同时发生，即AB??，那么称事件A与A1,A2,L,AnAA2,L,AnB互不相容(或互斥)，若n个事件1,中任意两个事件不能同时发

AA2,L,AnAA??生，即ij(1≤i

2．运算规则（1）交换律：A?B?B?A AB?BA

（2）结合律：(A?B)?C?A?(B?C) (AB)C?A(BC) （3）分配律(A?B)C?(AC)?(BC) (AB)?C?(A?C)(B?C) （4）德g摩根（De Morgan）法则：A?B?AB AB?A?B

3．概率P(A)满足的三条公理及性质：（1）0?P(A)?1 （2）P(?)?1

（3）对互不相容的事件A1,A2,?,An，有P(?A)??P(A) （n可以取?）

kkk?1k?1nn实用大全

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（4）P(?)?0 （5）P(A)?1?P(A)

（6）P(A?B)?P(A)?P(AB)，若A?B，则P(B?A)?P(B)?P(A)，P(A)?P(B) （7）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

（8）P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) 4．古典概型：基本事件有限且等可能

5．几何概率：如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面

或空间中的区域)，且样本空间中每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件Ａ的概率为

A的长度（或面积、体积）P(A)?样本空间的的长度（或面积、体积）·

6．条件概率

（1）定义：若P(B)?0，则P(A|B)?P(AB) P(B)（2）乘法公式：P(AB)?P(B)P(A|B) 若B1,B2,?Bn为完备事件组，P(Bi)?0，则有（3）全概率公式： P(A)??P(B)P(A|B)

iii?1n（4） Bayes公式： P(Bk|A)?P(Bk)P(A|Bk)?P(B)P(A|B)iii?1n

（5）贝努里概型与二项概率

设在每次试验中，随机事件Ａ发生的概率P(A)?p(0?p?1)，则在n次重复独立试验中．，事件Ａ恰发生k次的概率为

?n?Pn(k)???pk(1?p)n?k,k?0,1,L,n?k?，

7．事件的独立性： A, B独立?P(AB)?P(A)P(B) （注意独立性的应用）

下列四个命题是等价的：

(i) 事件A与B相互独立； (ii) 事件A与B相互独立； (iii) 事件A与B相互独立；

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(iv) 事件A与B相互独立．

8、思考题

１．一个人在口袋里放2盒火柴，每盒n支，每次抽烟时从口袋中随机拿出一盒（即每次每盒有同等机会被拿到）并用掉一支，到某次他迟早会发现：取出的那一盒已空了．问：“这时另一盒中恰好有m支火柴”的概率是多少？

２．设一个居民区有n个人，设有一个邮局，开c个窗口，设每个窗口都办理所有业务．c太小，经常排长队；c太大又不经济．现设在每一指定时刻，这n个人中每一个是否在邮局是独立的，每个人在邮局的概率是p．设计要求：“在每一时刻每窗口排队人数（包括正在被服务的那个人）不超过m”这个事件的概率要不小于a（例如，a?0.8,0.9或o.95），问至少须设多少窗口？３．设机器正常时，生产合格品的概率为９５％，当机器有故障时，生产合格品的概率为５０％，而机器无故障的概率为９５％．某天上班时，工人生产的第一件产品是合格品，问能以多大的把握判断该机器是正常的？

第二章随机变量与概率分布

1．离散随机变量：取有限或可列个值，P(X?xi)?pi满足（1）pi?0，（2）（3）对任意D?R，P(X?D)??pii=1

i: xi?D?pi

2．连续随机变量：具有概率密度函数f(x)，满足（1）f(x)?0, （2）P(a?X?b)?3．几个常用随机变量名称与记号分布列或密度 ???-?f(x)dx?1；

?baf(x)dx；（3）对任意a?R，P(X?a)?0

数学期望方差 0—1分布两点分布 B(1,p) 二项式分布B(n,p) P(X?1)?p，P(X?0)?q?1?p kP(X?k)?Cnpkqn?k,k?0,1,2,?n， p np pq npq 泊松分布P(?) P(X?k)?e???kk!,k?0,1,2,? ? 1 p? q p2几何分布G(p) P(X?k)?qk?1p, k?1,2,? 实用大全

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均匀分布U(a,b) 1f(x)?, a?x?b， b?af(x)??e??x, x?0 a?b 21 ?(b?a)2 12指数分布E(?) 正态分布N(?,?) 21?2 f(x)?12??e? (x??)22?2 ? ?2 标准正态分布的分布函数记作?(x)，即

1?t2?(x)??edt???(x)2?，

当出x?0时，?(x)可查表得到；当x?0时，?(x)可由下面性质得到

x2?(?x)?1??(x)．

2X~N(?,?)，则有设

；

b??a??P(a?X?b)??()??()??．

F(x)??(x???)

4．分布函数 F(x)?P(X?x)，具有以下性质

（1）F(??)?0, F(??)?1；（2）单调非降；（3）右连续；（4）P(a?X?b)?F(b)?F(a)，特别P(X?a)?1?F(a)；特别的 P(X?a)?F(a)?F(a?0) （5）对离散随机变量，F(x)? （6）对连续随机变量，F(x)?i: xi?x?pi；

?x??'f(t)dt为连续函数，且在f(x)连续点上，F(x)?f(x)