2006年全国初中数学竞赛试题
证明：因为AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线， 所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是
△KPE∽△KAP， 所以
KPKE?， 即 KP2?KE?KA． KAKP 由切割线定理得 KB2?KE?KA 所以 KP?KB．
因为AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是
PEKPPEKB?? 故 ， CEACCEAC即 PE·AC=CE·KB．
7．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．
“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛
证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为E,F，则CE∥DF．
因为AB是⊙O的直径，所以
?ACB??ADB?90?．
在Rt△ABC和Rt△ABD中，由射影定理得
PA2?AC2?AE?AB，
PB2?BD2?BF?AB．
两式相减可得
PA2?PB2?AB?AE?BF?，
又 PA2?PB2?(PA?PB)(PA?PB)?AB?PA?PB?， 于是有 AE?BF?PA?PB， 即 PA?AE?PB?BF，
所以PE?PF，也就是说，点P是线段EF的中点．
因此，MP是直角梯形CDFE的中位线，于是有MP?AB，从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切．
8．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足
DEAD?．若CFBCCD，FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点
P，连接PA，PB，PC，PD．求证：
（1）
ADPD?； BCPC（2）△PAB∽△PDC．
“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛
证明：（1）连接PE，PF，PG，因为?PDG??PEG，所以?PDC??PEF． 又因为?PCG??PFG，所以
△PDC∽△PEF，
PDPE?,?CPD??FPE， PCPF从而 △PDE∽△PCF，
PDDE?所以 ． PCCFDEADADPD??又已知，所以，． CFBCBCPC（2）由于?PDA??PGE??PCB，结合（1）知，△PDA∽△PCB，从而有
PAPD?, ?DPA??CPB， PBPC所以?APB??DPC，因此
△PAB∽△PDC．
于是有
9．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和
CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： tan?PAD?EF． BC
“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题
证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是直径
所以, ED⊥BC， FD⊥BC， 因此D，E，F三点共线 连接AE，AF，则
?AEF??ABC??ACB??AFD，
所以，△ABC∽△AEF.
作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得
EFAH?， BCAP从而
EFPD?， BCAPPDEF?. APBC所以 tan?PAD?
历年(95-10)全国初中数学竞赛（联赛）分类题型详解-几何(4)
