历年(95-10)年全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(4)
证明题 (9道题)
1.材已知∠ACE=∠CDE=90°,点B在CE上,CA=CB=CD,经A、C、D三点的圆交AB于F(如图)求证F为△CDE的内心。
1995年全国初中数学联赛试题
证法1:如图6,连DF,则由已知,有
连BD、CF,由CD=CB,知 ∠FBD=∠CBD-45° =∠CDB-45°=∠FDB,
得FB=FD,即F到B、D和距离相等,F在线段BD的垂直平分线上,从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上,CF是∠ECD的平分线.
由于F是△CDE上两条角平分线的交点,因而就是△CDE的内心.
证法2:同证法1,得出∠CDF=45°=90°-45°=∠FDE之后,由于∠ABC=∠FDE,故有B、E、D、F四点共圆.连EF,在证得
∠FBD=∠FDB之后,立即有∠FED=∠FBD=∠FDB=∠FEB,即EF是∠CED的平分线.
2. 设凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M,过点M作AD的平行线分别交AB、CD于点E、F,交BC的延长线于点O,P是以O为圆心OM为半径的圆上一点
(位置如图所示),求证:∠OPF=∠OEP.
1996年全国初中数学联赛试题
证 作AD、BO的延长线相交于G,∵OE
3.如图所示,已知AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,OC平行于弦AD,过点D作
DE⊥AB于点E,连结AC,与DE交于点P. 问EP与PD是否相等?证明你的结论.
A D P E O
2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题
解:DP=PE. 证明如下:
B C 因为AB是⊙O的直径,BC是切线, 所以AB⊥BC.
由Rt△AEP∽Rt△ABC,得
EPAE? . ① BCAB又AD∥OC,所以∠DAE=∠COB,于是Rt△AED∽Rt△OBC. 故
EDAEAE2AE ② ???BCOB1ABAB2由①,②得 ED=2EP. 所以 DP=PE.
4.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°.
CD2?BD2AD?BD?(1)当点D在斜边AB内部时,求证:. 2BCAB(2)当点D与点A重合时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由. (3)当点D在BA的延长线上时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.
C B
2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题 证:(1)作DE⊥BC,垂足为E. 由勾股定理得
D A
CD2?BD2?(CE2?DE2)?(BE2?DE2)?CE2?BE2?(CE?BE)BC. E B 2
C D 2A
CD?BDCE?BECEBE???. 2BCBCBCBCCEADBEBD?,?因为DE∥AC,所以 . BCABBCAB所以
CD2?BD2ADBDAD?BD???故 . 2ABABABBC(2)当点D与点A重合时,第(1)小题中的等式仍然成立。此时有
AD=0,CD=AC,BD=AB.
CD2?BD2AC2?AB2?BC2????1, 所以 222BCBCBCAD?BD?AB???1.
ABAB从而第(1)小题中的等式成立.
(3)当点D在BA的延长线上时,第(1)小题中的等式不成立. 作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,则
CD?BDCE?BE?BC2BC2
CE?BE2CE????1?,BCBCAD?BD?AB???1, 而
ABABCD2?BD2AD?BD?所以 .
ABBC22222 E C B A D
5. 如图,半径不等的两圆相交于A,B两点,线段CD经过点A,且分别交两圆于C,D两点. 连结BC,BD,设P,Q,K分别是BC,BD,CD的中点,M,N分别是弧BC和弧BD的中点. 求证:
(1)
BPNQ?; PMQB (2)△KPM∽△NQK
CPQBNKADM 2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题
6.如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为A,B.过点A作PB的平行线,交⊙O于点C.连结PC,交⊙O于点E;连结AE,并延长AE交PB于点K.求证:PE·AC=CE·KB.
历年(95-10)全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(4)
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