分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、．．．．．．．B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形．．
是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
例1(，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？ 分析:由t＝2求出BP与BQ的长度,从而可得△BPQ的形状; 作QE⊥BP于点E,将PB,QE用t表示,由S?BPQ=
1×BP×QE可得 2
S与t的函数关系式;先证得四边形EPRQ为平行四边形,得PR=QE, 再由△APR∽△PRQ,对应边成比例列方程,从而t值可求.
解:(1)△BPQ是等边三角形, 当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4, 即BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ是等边三角形.
(2)过Q作QE⊥AB,垂足为E,由QB=2t,得QE=2t·sin600=3t,
由AP=t,得PB=6-t,所以S?BPQ=
3211×BP×QE=(6-t)×3t=－t+33t；
222(3)因为QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因为∠C=600,
6
所以△QRC是等边三角形,这时BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t. 因为BE=BQ·cos600=
1×2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, 2所以EP=QR,又EP∥QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ=3t,
由△APR∽△PRQ,得到
APPR6t3t?,即,解得t=, ?PRRQ53t6?2t所以当t=
6时, △APR∽△PRQ. 5点评: 本题是双动点问题.动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.
)如图，在Rt△ABC中，?A?90，AB?6，AC?8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ?BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ?x，QR?y．（1）求点D到BC的距离DH的长；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有 满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
分析:由△BHD∽△BAC,可得DH;由△RQC∽△ABC,可得
y关于x的函数关系式;由腰相等列方程可得x的值;注意需分类讨论.
解：（1）Q?A?Rt?，AB?6，AC?8，?BC?10．
A D P B H Q R E C o Q点D为AB中点，?BD?1AB?3． 2DHBD， ?ACBCQ?DHB??A?90o，?B??B．?△BHD∽△BAC，?∴DH?BD312?AC??8? BC105o（2）QQR∥AB，??QRC??A?90．Q?C??C，?△RQC∽△ABC，
?RQQCy10?x3，??，即y关于x的函数关系式为：y??x?6． ?ABBC6105A R E C
（3）存在.按腰相等分三种情况：
①当PQ?PR时，过点P作PM?QR于M，则QM?RM．
Q?1??2?90，?C??2?90，??1??C． QM484?， ?cos?1?cosC??，?QP5105ooD P B 1 M 2 H Q
1?3??x?6??42?5??，?x?18． ?12555②当PQ?RQ时，?A D B H
P E Q
312x?6?， 55R C 7
?x?6．
③当PR?QR时，则R为PQ中垂线上的点， 于是点R为EC的中点，
11?CR?CE?AC?2．
24QRBA， QtanC??CRCA3?x?6156?5?，?x?．
2281815综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．
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点评:建立函数关系式,实质就是把函数y用含自变量x的代数式表示;要求使△PQR为等腰三角形的
x的值,可假设△PQR为等腰三角形,找到等量关系,列出方程求解,由于题设中没有指明等腰三角形 注意
分情况
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(完整word版)中考数学动点问题专题讲解
