第四章 指数函数与对数函数 4.4.3 不同增长函数的差异

第四章 指数函数与对数函数 4.4.3 不同增长函数的差异

本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.4.3节《不同增长函数的差异》 是在学习了指数函数、对数函数和幂函数之后的对函数学习的一次梳理和总结。本节提出函数增长快慢的问题，通过函数图像及三个函数的性质，完成函数增长快慢的认识。既是对三种函数学习的总结，也为后续导数的学习做了铺垫。培养和发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

课程目标 1.了解指数函数、对数函数、幂函数 (一次函数) 的增长差异. 2、经过探究对函数的图像观察，理解对数增培养学生观察问题、长、直线上升、指数爆炸。分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力； 3、在认识函数增长差异的过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意识，探索数学。

教学重点：函数增长快慢比较的常用方法； 教学难点：了解影响函数增长快慢的因素；

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学科素养 a.数学抽象：函数增长快慢的认识； b.逻辑推理：由特殊到一般的推理； c.数学运算：运用指数和对数运算分析问题； d.直观想象：指数、对数函数的图像； e.数学建模：运用函数增长差异解决实际问题； 1

教学过程 设计意图 核心教学素养目标 三种函数模型的性质 y＝y＝xn(n>0) logax(a>1) 增函数 增函数 的回顾，提出新随x增大逐渐近似与x随n值而不同 轴x平行 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢 ②存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax 随x增大逐渐近似与y轴;平行 的问题，提出研究函数增长差异的问题及研究方法。培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养。 温故知新，通过对上节指数、对数和幂函数问题增函数 （一）、温故知新 在(0，＋∞)上的增减性 图象的变化趋势 增长速度 y＝ax(a>1) （二）问题探究 我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异． 提出问题 虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映. 我们仍然采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法. 下面就来研究一次函数f(x)=kx+b，k>0 ，指数函数x g(x)=a(a>1) ，对数函数在定义域内增长方式的差异. 问题探究 x以函数y=2与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异. x分析：(1) 在区间(-∞,0)上，指数函数y=2值恒大于0，一次函数y=2x值恒小于0，所以我们重点研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异. (2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下： 2

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ··· y=2 1 1.414 2 2.828 4 5.657 8 ··· x y=2x 0 1 2 3 4 5 6 ··· y 通过画出特殊的指数函数和Ox幂函数的图形，观察归纳出两类函数增长的差异和特点，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运 (3) 观察两个函数图象及其增长方式： x结论1：函数y=2与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4) x结论2：在区间(0,1)上，函数y=2的图象位于y=2x之上 x结论3：在区间(1,2)上，函数y=2的图象位于y=2x之下 x算等核心素养； 结论4：在区间(2,3)上，函数y=2的图象位于y=2x之上 x综上：虽然函数y=2与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，x函数y=2x的增长速度不变，但是y=2的增长速度改变，先慢后快. y87654321 (1,2)12(2,4) Ox 3

请大家想象一下，取更大的x值，在更大的范围内两个函数图象的关系？ x思考：随着自变量取值越来越大，函数y=2的图象几乎与x轴垂直，函x数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2的增长相比几乎微不足道.

y87654321 归纳总结 x总结一：函数y=2x与y=2在[0,+∞)上增长快慢的不同如下： x O12xx虽然函数y=2x与y=2在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同. 随着x的增大，y=2的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y=2x的增长速度. xx x尽管在x的一定范围内，2<2x，但由于y=2的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x，当x>x时，恒有2>2x. 00x总结二：一般地指数函数y=a(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似. x即使k值远远大于a值，指数函数y=a(a>1)虽然有一段区间会小于x y=kx(k>0)，但总会存在一个x，当x>x时， y=a(a>1)的增长速度会大00大超过y=kx(k>0)的增长速度. 跟踪训练 1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表： x 1 5 10 101 1 024 20 5.322 15 226 37 768 30 5.907 20 401 1.05×106 40 6.322 25 626 3.36×107 50 6.644 30 901 1.07×109 60 6.907 y1 2 26 y2 2 32 y3 2 10 y4 2 4.322 关于x呈指数函数变化的变量是________. 答案：y2 [以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.] 分析：(1) 在区间(-∞,0)上，对数函数y=lgx没意义，一次函数值恒小于0， 所以研究在区间(0,+∞)上它们的增长差异. (2) 借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：

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x 0 10 20 30 40 50 60 ··· y=lgx 不存在 1 1.301 1.477 1.602 1.699 1.778 ··· 0 1 2 3 4 5 6 ··· y654321 y?1x10 y=l102030405060 Ox 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异. 1y?x 10 (3) 观察两个函数图象及其增长方式： 以函数y=lgx与 总结一：虽然函数y=lgx与 y?1x10在(0,+∞)上都是单调递增，但它们 通过对对数函数的图像与幂函数图像的观察分析归纳总结出两的增长速度存在明显差异. 在(0,+∞)上增长速度不变，y=lgx在(0,+∞)上的增长速度在变化. 1随着x的增大， y?x的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图10x轴平行一样. 象越来越平缓，就像与y654321y?1x10类函增长性的差异和特点，发展y=lgx 学生数学运算、逻辑推理的核心 例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4； O102030405060x素养； 1111 ?10?1，?100?10，?1000?100，?10000?1000，10101010这表明，当x>10，即y>1，y=lgx比 y?1x10 相比增长得就很慢了. 5