实验三 连续周期性时间傅里叶系数

实验三 连续周期性时间信号的傅里叶级数

一、实验目的：

1. 进一步掌握MATLAB子函数的表示方法

2. 深刻理解傅里叶级数的信号分解理论及收敛性问题 3. 理解周期性信号的频谱特点。

二、实验原理

傅里叶级数

设有连续时间周期信号，它的周期为T，角频率，且满足狄里赫利条

件，则该周期信号可以展开成傅里叶级数，即可表示为一系列不同频率的正弦或复指数信号之和。傅里叶级数有三角形式和指数形式两种。 1. 三角形式的傅里叶级数：

式中系数

，

称为傅里叶系数，可由下式求得：

[

2. 指数形式的傅里叶级数：

式中系数

称为傅里叶复系数，可由下式求得：

周期信号频谱具有三个特点： （1） 离散性，即谱线是离散的；

（2） 谐波性，即谱线只出现在基波频率的整数倍上； （3） 收敛性，即谐波的幅度随谐波次数的增高而减小。

周期信号的MATLAB表示

周期信号的傅里叶分解用Matlab进行计算时，本质上是对信号进行数值积分运算。在Matlab中有多种进行数值积分运算的方法，我们采用quadl函数，它有两种其调用形式。 (1) y＝quadl(‘func’, a, b)。 其中func是一个字符串，表示被积函数的.m文件名（函数名）；a、b分别表示定积分的下限和上限。

(2) y＝quadl(@myfun, a, b)。其中“@”符号表示取函数的句柄，myfun表示所定义函数的文件名。 例：

用MATLAB计算脉冲宽度T1 = 2； 周期T = 4的周期性脉冲信号的复傅里叶级数，分别画出N = -2:2， -10:10， -50:50， -200:200的傅里叶级数展开及合成，观察吉普斯效应。画出T = 4， T =8下的双边谱

A.首先创建一个子函数singRect（t, T1），表示单个脉冲信号，时间为t，宽度为T1。

function y = singRect(t, T1) y = (abs(t) <= T1); end

B.创建傅里叶积分的被积子函数

function y = rectExp(t, k, w) y = (abs(t) <= 1) .* exp(-1j*k*w*t); end

C.创建子函数用于傅里叶级数计算及合成

function [x, ak] = fourierSeries(N, t) T1 = 1;

T = 4; w = 2 * pi/T; ak = zeros(1, 2 * N + 1);

for i = 1:2*N+1 %傅里叶分解，计算傅里叶系数ak

ak(i) = quadl(@(t)fsInt(t, i - N - 1, w, T1), -2, 2)/T; end; x = 0;

for i = 1:2*N + 1 %傅里叶级数合成

x = x + ak(i) * exp(1j*(i - N - 1)*w*t); end end

D.创建main函数，计算不同N下的傅里叶级数及合成。

T1 = 1; T = 4;

t = -T/2:0.001:T/2;

figure, subplot 221, N = 2;

[x, ak] = fourierSeries(N, t); plot(t, singRect(t, T1), 'k');

hold on;

plot(t, real(x), 'r'); title('N = 2'); xlim([-2 2]);

subplot 222, N = 10;

[x, ak] = fourierSeries(N, t); plot(t, singRect(t, T1), 'k'); hold on;

plot(t, real(x), 'r'); title('N = 10'); xlim([-2 2]);

subplot 223, N = 50;

[x, ak] = fourierSeries(N, t); plot(t, singRect(t, T1), 'k'); hold on;

plot(t, real(x), 'r'); title('N = 50'); xlim([-2 2]);

subplot 224, N = 200;

[x, ak] = fourierSeries(N, t); plot(t, singRect(t, T1), 'k'); hold on;

plot(t, real(x), 'r'); title('N = 300'); xlim([-2 2]);

运行结果如下图所示，可以看到明显的Gibbs效应，随着N的增加，合成越接近于原信号，但Gibbs效应仍然存在。

N = 21.510.50-0.5-2-10N = 501.510.50-0.5-2-10121.510.50-0.5-2-1012121.510.50-0.5-2-10N = 30012N = 10

T1 = 1, T = 80.30.250.20.150.10.050-0.05-0.1-20-15-10-505101520T1 = 1, T = 40.60.50.40.30.20.10-0.1-0.2-20-15-10-505101520

上图是不同T下的频谱，可以看到T越大，谱线越密。

四、作业

计算连续周期性三角波的傅里叶级数，设周期为 T = 5s，画出N = 5；N = 10；N = 100； N = 300时的傅里叶级数合成图。并画出T = 5,10,20的傅里叶系数ak。

function y = functri(t) y = tripuls(t,width,0); End

function y = FsIntegralFunc(t,k,T,width) w=2*pi/T;

y=tripuls(t,width,0).*exp(-1j*k*w*t); End

function ak = fourierSeries(t,k,T,width)

ak=quadl(@(t)FsIntegralFunc(t,k,T,width),-T/2,T/2)/T; end

clear all

close all clc

N=?; %在T=5的情况下，对N进行不同取值 k=-N:N； width=4;

T=?;%对T进行不同取值 t=-T/2:0.01:T/2; w=2*pi/T;

ak=zeros(1,length(k)); x1=0; figure;

for m=-N:N;

ak(m+N+1)=fourierSeries(t,m,T,width); x1= x1+ ak(m+N+1) * exp(1j*m*w*t); end

stem(k,real(ak),'k');title('傅里叶系数ak') hold on;

plot(k,real(ak)); xlabel('T=5');