一个最小元素。设F(n,r)是所有这些最小元素的算术平均值。求证：F(n,r) = (n+1)/(r+1)。
3. 设m、n是属于{1, 2, ... , 1981}的整数并且满足(n2 - mn - m2)2 = 1。试计算m2 + n2的最大值。
4. 设 n>2，问
a. n为何值时，存在一个由n个连续的正整数构成的集合使得其中的最大元是其它 n-1
个元素最小公倍数的因子
b. n为何值时，恰好值存在一个满足条件的集合
5. 三个都通过点O的等半径的圆位于一个给定三角形的内部，并且每个圆都相切于这个三角形的两条边。求证：这个三角形的内心、外心、O点三点共线。
6. 函数f(x,y)，对于任何非负整数x,y都满足f(0,y) = y + 1, f(x+1,0) = f(x,1), f(x+1,y+1) = f(x,f(x+1,y))。试计算f(4, 1981)的值。
第23届IMO
1. f(n)是定义在正整数上且取值为非负整数的函数，f(2) = 0, f(3) > 0, f(9999) = 3333，并对所有m,n有f(m+n) - f(m) - f(n) = 0 或 1。试求出f(1982)。
2. A1A2A3是不等腰三角形，其三边为a1, a2, a3 ，其中ai 是角 Ai的对边， 设 Mi 是边 ai 的中点，Ti是三角形的内切圆在边 ai上的切点，记Si为点 Ti 关于内角Ai的角平分线的对称点，
求证线M1S1, M2S2 和M3S3共点。
3. 考虑无限正实数序列 {xn} 满足x0 = 1 及 x0 >= x1 >= x2 >= ... ，
a. 求证对每个这样的序列都有存在一个n >= 1使得
x02/x1 + x12/x2 + ... + xn-12/xn >= .
b. 试寻找一个这样的序列使其满足
x0/x1 + x1/x2 + ... + xn-1/xn < 4 对所有n成立。
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4. n使正整数，求证如果方程 x3 - 3xy2 + y3 = n有关于整数x,y的一个解，则其至少有三个解；当n=2891时再证明这个方程无整数解。
5. 正六边形ABCDEF的对角线AC、CE上分别有分点M、N并且 AM/AC = CN/CE = r，如果B、M、N共线，试求r的值。
6. 设S是边长为100的正方形，L是在S内部不自交的系列线段A0A1, A1A2, A2A3, ... , An-1An 并且A0 与 An不重合。已知对于每一个在S边界上的点P，L中存在一个点与P之间的距离不大于1/2。求证：L中存在两点X、Y，X与Y的距离不大于1，并且L上位于X和Y之间的部分不少于198。
第24届IMO
1. 试找出所有定义在正实数并取值正实数的函数 f，使其满足 f(x(f(y)) = yf(x)对所有x, y成立，并且当 x 趋向于无穷大时 f(x) 趋向于0.
2. 圆C1、C2 的圆心分别是O1 、O2，它们相交于两个不同的点，设A是其中一个交点。这两个圆的一条公切线切C1、 C2 分别于点 P1、P2，另外一条公切线分别切C1、 C2 于点 Q1、Q2，再设M1、M2分别是P1Q1和P2Q2的中点，求证：角O1AO2 = 角 M1AM2。
3. a , b, c是正整数，并且它们中的任何两个都没有大于1的公约数。求证 2abc - ab - bc - ca 是不能表示成形式xbc + yca + zab的最大整数，其中x, y, z是非负整数。
4. 等边三角形ABC，设集合E是该三角形的所有边界点（即边AB,BC,CA），任意将E分拆成两个不相交的子集合（它们的并集是E），试证明这两个集合中的至少一个包含有三点构成一直角三角形。
5. 问是否可能存在小于或等于105的1983个不同的正整数，任何三个都不构成一等茶数列。
6. 设a,b,c是一个三角形的三边长，求证
a2b(a - b) + b2c(b - c) + c2a(c - a) >= 0.
并判断何时等号成立。
第25届IMO
1. 求证 0 <= yz + zx + xy - 2xyz <= 7/27, 其中x, y， z 是非负实数并满足x + y + z = 1.
2. 试找出所有的正整数对（a,b）满足 ab(a+b)不能被 7 整除, 但 (a+b)7 - a7 - b7 可被7整除。
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3. 给定平面上的点O、A。平面上的每个点都被染色成有限种颜色中的一个。设X是平面上一给定点，以O为圆心的圆C(X)的半径是 OX + (∠ AOX)/OX，其中角∠ AOX是用弧度衡量（即范围是[0, 2л)），求证能够找到不在OA上的一点X使得它的颜色出现在圆C(X)的圆周上。
4. 凸四边形ABCD的边CD与以AB为直径的圆相切，求证：AB与以CD为直径的圆相且当且仅当BC和AD是平行的。
5. 设 d 是平面上一凸 n 边形（n>3）的所有对角线的长度之和，p 是它的周长。求证:
n - 3 < 2d/p < [n/2] [(n+1)/2] - 2,
其中[x]表示不超过x的最大整数。
6. 0 < a < b < c < d 是四个奇数且 ad = bc. 若a + d = 2k 及 b + c = 2m 对某k、m成立,则
a = 1.
第26届IMO
1. 圆内接四边形ABCD，现有一圆其圆心在边AB上并于其他三边相切，求证AD + BC = AB.
2. 设 k 3. P(x) = a0 + a1x + ... + akxk 是整系数多项式，设其中系数为奇数的个数为o(P)。对于i = 0, 1, 2, ... ，记 Qi(x) = (1 + x)i。求证如果i1, i2, ... , in都是整数并满足0 <= i1 < i2 < ... < in，则有 o(Qi1 + Qi2 + ... + Qin) >= o(Qi1). 4. 集合M由 1985个不同的正整数组成，且每个数都有一个大于23的素因子，求证M中存在4个元素的积是某个整数的4次方。 5. 圆心为O的一个圆经过三角形ABC的顶点A和C，并与AB,BC分别交于不同的两点K、N，三角形ABC的外接圆和三角形KBN的外接圆相交于两个不同的点B、M，求证角OMB是直角。 6. 对于任何一个实数 x1，可通过递推式 xn+1 = xn(xn + 1/n) 构造序列 x1, x2, ...，求证存在唯一的一个x1 满足对所有的n都有 0 < xn < xn+1 < 1 成立。 第27届 IMO
历届IMO试题(1-46届完整中文版)
