例2 (多选)如图8所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90m的大圆弧和r＝40m的小圆弧，直道与弯道相切.大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100m.赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g＝10m/s，π＝3.14)，则赛车( )
2
图8
A.在绕过小圆弧弯道后加速 B.在大圆弧弯道上的速率为45m/s C.在直道上的加速度大小为5.63m/s D.通过小圆弧弯道的时间为5.58s 答案 AB
2
vm2
解析 在弯道上做匀速圆周运动时，根据径向静摩擦力提供向心力得，kmg＝m，当弯道半
r径一定时，在弯道上的最大速率是一定的，且在大弯道上的最大速率大于小弯道上的最大速率，故要想时间最短，可在绕过小圆弧弯道后加速，选项A正确；在大圆弧弯道上的速率为
2vmR＝kgR＝2.25×10×90m/s＝45 m/s，选项B正确；直道的长度为x＝L－R－r2
＝
503m，在小弯道上的最大速率为：vmr＝kgr＝2.25×10×40m/s＝30 m/s，在直道上的
vmR2－vmr2452－30222加速度大小为a＝＝m/s≈6.50 m/s，选项C错误；由几何关系可知，小
2x2×503
2πr32πr2×3.14×40
圆弧轨道的长度为，通过小圆弧弯道的时间为t＝＝ s≈2.79 s，选
3vmr3×30
6
项D错误.
变式2 两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是( )
答案 B
解析 小球做匀速圆周运动，对其受力分析如图所示，则有mgtanθ＝mωLsinθ，整理得：
2
gLcosθ＝2，则两球处于同一高度，故B正确.
ω
命题点三 竖直面内圆周运动的两类
模型问题
1.两类模型比较 实例 绳—球模型 如球与绳连接、沿内轨道运动的球等 最高点无支撑 杆—球模型 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等 最高点有支撑 图示 最受力特征 重力、弹力，弹力方向向下或 重力、弹力，弹力方向向下、等于零或 7
高点 等于零 向上 受力示意图 力学特征 临界特征 过最高点条件 v2mg＋FN＝m rFN＝0，vmin＝gr v≥gr v2mg±FN＝m r竖直向上的FN＝mg，v＝0 v≥0 ①当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，①能过最高点时，v≥gr，FN沿半径背离圆心 v2v2＋mg＝m，绳、轨道对球产生②当0
(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同. (2)确定临界点：抓住绳模型中最高点v≥gR及杆模型中v≥0这两个临界条件. (3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况. (4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合＝F向.
(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程. 模型1 绳—球模型
例3 如图9所示，一质量为m＝0.5kg的小球，用长为0.4m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动.g取10m/s，求：
2
8
图9
(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？ (2)当小球在最高点的速度为4m/s时，轻绳拉力多大？
(3)若轻绳能承受的最大张力为45N，小球的速度不能超过多大？ 答案 (1)2m/s (2)15N (3)42m/s
mv2
解析 (1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得mg＋F1＝ ①
R
由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值， 亦即F1≥0
联立①②得v≥gR， 代入数值得v≥2m/s
所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2m/s. (2)将v2＝4m/s代入①得，F2＝15N.
(3)由分析可知，小球在最低点时轻绳张力最大，对小球受力分析如图乙，由牛顿第二定律得
②
2mv3
F3－mg＝
R ③
将F3＝45N代入③得v3＝42m/s 即小球的速度不能超过42m/s.
变式3 (2017·广东汕头二模)如图10甲，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v的关系如图乙所示，图象中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是( )
2
图10
9
A.数据a与小球的质量有关 B.数据b与圆周轨道半径有关
C.比值只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关 D.利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径 答案 D
bav2
解析 在最高点对小球受力分析，由牛顿第二定律有FT＋mg＝m，可得图线的函数表达式
Rv2aa为FT＝m－mg，题图乙中横轴截距为a，则有0＝m－mg，得g＝，则a＝gR；图线过点(2a，
RRR2abmbab)，则b＝m－mg，可得b＝mg，则＝，A、B、C错.由b＝mg得m＝，由a＝gR得R＝，
RaRgg则D正确.
模型2 球—杆模型
例4 如图11所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力.忽略空气阻力.则球B在最高点时( )
图11
A.球B的速度为零
B.球A的速度大小为2gL D.水平转轴对杆的作用力为2.5mg
C.水平转轴对杆的作用力为1.5mg 答案 C
vB2
解析 球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，有mg＝m，
2L1
解得vB＝2gL，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA＝2gL，
2故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球所受重力和拉力的合力提供向心力，有
vA2
F－mg＝m，解得F＝1.5mg，故C正确，D错误.
L变式4 如图12所示，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)从大环的最高处由静止滑下.重力加速度大小为g.当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( )
10
(人教版)2020年度高考物理一轮复习 第四章 第3讲 圆周运动学案
