[精品]备战2020高考理科数学二轮考点专题突破 专题25 数学思想方法及其应用（考点专练）（教师版）

考点专练

a4?2?42?1

1.已知函数f(x)＝x3＋??2－3?x＋?3－3a?x(0f(x3)恒成立，求实数a的取值范围．

8422

a－?x＋?－a?＝?x－?(x＋a－2)，所以令f′(x)＝0， 【解析】因为f′(x)＝x2＋??3??33??3?2

解得x1＝，x2＝2－a.

3由0

2

所以令f′(x)>0，得x<，或x>2－a；

32

令f′(x)<0，得

3

所以函数f(x)在(1,2－a)上单调递减，在(2－a,2)上单调递增．

a?1a2?

所以函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(2－a)＝(2－a)2，最大值为max{f(1)，f(2)}＝max?3－6，3a?.

6??21a2

因为当0

5363221a

当－， 5336

由对任意x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，得2f(x)min>f(x)max(x∈[1,2])． 2a1a所以当0－，

5636222

结合0

5252a2

当a， 56322

结合

55综上，知所求实数a的取值范围是1－

2

53π

2.是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acosx＋a－在闭区间[0，]上的最大值是1？若存在，则求出

822对应的a的值；若不存在，则说明理由．

53

【解析】y＝sin2x＋acosx＋a－ 8253

＝1－cos2x＋acosx＋a－ 82a2a251

＝－(cosx－)＋＋a－.

2482

1

π

∵0≤x≤，∴0≤cosx≤1，令cosx＝t，

2a2a251

则y＝－(t－)＋＋a－，0≤t≤1.

2482

aa2a251

当>1，即a>2时，函数y＝－(t－)＋＋a－在t∈[0,1]上单调递增， 22482∴t＝1时，函数有最大值y53

max＝a＋8a－2＝1，

解得a＝20

13<2(舍去)；

当0≤a

2≤1，即0≤a≤2时，

t＝a

2函数有最大值， ya251

max＝4＋8a－2＝1，

解得a＝3

2或a＝－4(舍去)；

当a

2

<0，即a<0时， 函数y＝－(t－a2)2＋a251

4＋8a－2在t∈[0,1]上单调递减，

∴t＝0时，函数有最大值y51

max＝8a－2＝1，

解得a＝12

5

>0(舍去)，

综上所述，存在实数a＝3

2

使得函数有最大值．

3．已知a∈R，函数f(x)＝21

33x＋2，h(x)＝x，解关于x的方程log4??2fx－1x)．

【解析】原方程可化为log3214??2??3x－6?3?－4??

＝log2a－x－log24－x，

即log4(x－1)＝loga－x

2a－x－log24－x＝log24－x

， ①当1

，

即x2－6x＋a＋4＝0，Δ＝36－4(a＋4)＝20－4a>0，

34??＝log2h(a－x)－log2h(42

－－

此时x＝6±20－4a

2

＝3±5－a，

∵14时，1

由x－1＝a－x

4－x，得x2－6x＋a＋4＝0，Δ＝36－4(a＋4)＝20－4a，

若40，方程有两解x＝3±5－a； 若a＝5时，则Δ＝0，方程有一解x＝3；

③由函数有意义及②知，若a≤1或a>5，原方程无解． 综合以上讨论，当15时，原方程无解．

4．在正项数列{an}中，a1＝3，a2n＝an－1＋2(n≥2，n∈N*

)．

(1)求a2，a3的值，判断an与2的大小关系并证明； (2)求证：|a－2|<1

n4|an－1－2|(n≥2)；

(3)求证：|a|a4

1－2|＋2－2|＋…＋|an－2|<3.

【解析】(1)a2＝a1＋2＝5，a3＝a2＋2＝

5＋2.

由题设，a2n－4＝an－1－2，(an－2)(an＋2)＝an－1－2. 因为an＋2>0，所以an－2与an－1－2同号． 又a1－2＝1>0，所以an－2>0(n≥2)，即an>2. (2)证明：由题设，?

?an－2?＝1?an－1－2?

?an＋2

，

由(1)知，a11n>2，所以?an－2?1an＋2<4，因此??an－1－2??<4，

即|a2|<1

n－4

|an－1－2|(n≥2)．

(3)证明：由(2)知，|a1

n－2|<4|an－1－2|，

因此|an－2|<

14

n－1

|a1－2|＝

14n

－1

(n≥2)．

3

1

4n4?14111

因此|a1－2|＋|a2－2|＋…＋|an－2|<1＋＋2＋…＋n－1＝＝?1－4n??<3. 44134

1－4

1－

x22

5．已知椭圆G：＋y＝1，过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．

4(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；

(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

2＋y2＝λ，?3x11?

【解析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有?22两式相减得3(x1－x2)(x1＋x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)

?3x＋y＝λ，?22

＝0.

由题意，知x1≠x2，

y1－y23(x1＋x2)

所以kAB＝＝－.

x1－x2y1＋y2因为N(1,3)是弦AB的中点， 所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝6， 所以kAB＝－1.

所以弦AB所在直线的方程为y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0. 又N(1,3)在椭圆内， 所以λ>3×12＋32＝12.

所以λ的取值范围是(12，＋∞)．

(2)因为弦CD垂直平分弦AB，所以弦CD所在直线的方程为y－3＝x－1，即x－y＋2＝0， 将其代入椭圆的方程， 整理得4x2＋4x＋4－λ＝0.①

设C(x3，y3)，D(x4，y4)，弦CD的中点为M(x0，y0)， 则x3，x4是方程①的两个根．

13113

－，?. 所以x3＋x4＝－1，x0＝(x3＋x4)＝－，y0＝x0＋2＝，即M??22?222

13

－＋－42232所以点M到直线AB的距离d＝2＝.所以以弦CD的中点M为圆心且与直线AB相切的圆221＋1139

x＋?2＋?y－?2＝. 的方程为??2??2?2

π

6、如果方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，求a的取值范围．

2

4

【解析】方法一 设f(x)＝－cos2x＋sinx(x∈(0，π

2])．

显然当且仅当a属于f(x)的值域时，a＝f(x)有解． 因为f(x)＝－(1－sin2x)＋sinx ＝(sinx＋12)2－5

4

，

且由x∈(0，π

2]知sinx∈(0,1]．

易求得f(x)的值域为(－1,1]． 故a的取值范围是(－1,1]．

方法二 令t＝sinx，由x∈(0，π

2]，可得t∈(0,1]．

将方程变为t2＋t－1－a＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解． 设f(t)＝t2＋t－1－a.

其图象是开口向上的抛物线，对称轴t＝－1

2

，

如图所示．

因此f(t)＝0在(0,1]上有解等价于???f(0)<0，

??f(1)≥0，

即???－1－a<0，

?所以－1

1－a≥0，

故a的取值范围是(－1,1]．

7、设函数f(x)＝cos2x＋sinx＋a－1，已知不等式1≤f(x)≤17

4对一切x∈R恒成立，求a的取值范围．【解析】f(x)＝cos2x＋sinx＋a－1 ＝1－sin2x＋sinx＋a－1 ＝－(sinx－12)2＋a＋1

4

.

因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝1

2

时，

5