换底公式的证明及其应用

换底公式的证明及其应用

换底公式是对数运算、证明中重要的公式，但有些同学对其理解不深，应用不好，故下面加以补充，希望对同学们的学习能有所帮助. 一、换底公式及证明 logaN换底公式：logbN＝logb.

a

证明 设logbN＝x，则bx＝N.两边均取以a为底的对数，得logabx＝logaN，∴xlogab＝logaN. logaNlogaN∴x＝logb，即logbN＝logb.

aa二、换底公式的应用举例 1.乘积型

例1 (1)计算：log89·log2732； (2)求证：logab·logbc·logcd＝logad.

分析 先化为以10为底的常用对数，通过约分即可解决. 解 (1)换为常用对数，得

lg 9lg 322lg 35lg 22510

log89·log2732＝lg 8·lg 27＝3lg 2·3lg 3＝3×3＝9. (2)由换底公式，得

lg blg clg dlogab·logbc·logcd＝lg a·lg b·lg c＝logad.

评注 此类型题通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决. 2.知值求值型

1

例2 已知log1227＝a，求log616的值. 分析 本题可选择以3为底进行求解. 3－alog327

解 log1227＝log12＝a，解得log32＝2a. 33－a4×2a4?3－a?log3164log32

故log616＝log6＝＝＝. 31＋log323－a3＋a

1＋2a

评注 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决. 3.综合型

12311

例3 设A＝log19＋log19＋log19，B＝logπ＋logπ，试比较A与B

53225的大小.

分析 本题可选择以19及π为底进行解题. 解 A换成以19为底，B换成以π为底， 则有A＝log195＋2log193＋3log192＝log19360＜2， B＝logπ2＋logπ5＝logπ10＞logππ2＝2.故A＜B.

1

评注 一般也有倒数关系式成立，即logab·logba＝1，logab＝loga.

b

2