1981年~2018年全国高中数学联赛二试试题分类汇编
1、平面几何部分
2018A二、（本题满分40分）
如图所示， ?ABC为锐角三角形，AB?AC，M为边BC的中点，点D和E分别为?ABC的外接圆弧BAC和BC的中点，F为?ABC内切圆在AB边上的切点，G为AE与BC的交点，N在线段EF上，满足NB?AB.
证明：若BN?EM,则DF?FG。（答题时请将图画在答卷纸上）
★证明：由条件知，DE为?ABC外接圆的直径，DE?BC于M，AE?AD。记I为?ABC的内心，则I在AE上，IF?AB。由NB?AB可知，
?NBE??ABE??ABN?(1800??ADE)?900?900??ADE??MEI
又根据内心性质，有?EBI??EBC??CBI??EAC??ABI??EAB??ABI??EIB 从而BE?EI。结合BN?EM，所以?NBE??MEI，
于是?EMI??BNE?90??BFE?180??EFI，故E,F,I,M四点共圆。 进而可知?AFM?90??IFM?90??IEM??AGM,故A,F,G,M四点共圆。
再由?DAG??DMG?90知，A,G,M,D四点共圆，所以A,F,G,M,D五点共圆，从而
00000?DFG??DAG?900，即DF?FG。
2018B二、（本题满分40分）如图所示， 在等腰?ABC中，AB?AC，边AC上一点D及BC延长线上一点E满足
ADBC?，以AB为直径的圆?与线段DE交于一点F。 DC2CE证明：B,C,F,D四点共圆。（答题时请将图画在答卷纸上）
★证明:取BC中点H，则由AB?AC知AH?BC，故H在圆?上.延长FD至G，使得
AG//BC，结合已知条件得，
AGADBC1，故AG?BC?BH?CH， ??CEDC2CE2从而AGBH为矩形，AGHC为平行四边形。
由AGBH为矩形知，G在圆?上，故?HGF??HBF,
又AGHC为平行四边形，由AC//GH，得?CDF??HGF, 所以?CBF??HBF??CDF，所以B,C,F,D四点共圆。
2017A一、（本题满分40分）如图所示，在?ABC中，AB?AC，I为?ABC的内心，以A为圆心，AB为半径作圆?1，以I为圆心，IB为半径作圆?2，过点B,I的圆?3与?1、?2分别交于点P、。设IP与BQ交于点R。证明：BR?CR（答题时请将图画在答卷纸上） Q（不同于点B）
★证明：连接IB,IC,IQ,PB,PC，由于点点Q在圆?2上，故IB?IQ，所以?IBQ??IQB。 又B,I,P,Q四点共圆，所以?IPB??IQB，于是?IBQ??IPB，
故?IBP~?IRB，从而?IRB??IBP，且
IBIP, ?IRIBICIP ?IRIC又AB?AC，且I为?ABC的内心，故IB?IC，所以所以?ICP~?IRC，则?IRC??ICP
1?A， 2因此，?BRC??IRB??IRC??IBP??ICP
又点P在圆?1的弧BC上，故?BPC?180?0?3600??BIC??BPC
11?????3600??900??A???1800??A??900，即BR?CR
22????
2017B三、（本题满分50分）如图，点D是锐角?ABC的外接圆?上弧BC的中点，直线DA与圆
?过点B,C的切线分别相交于点P,Q,BQ与AC的交点为X，CP与AB的交点为Y，BQ与CP的交点为T．求证：AT平分线段XY． （答题时请将图画在答卷纸上） ★证明：首先证明YX//BC，即证连接BD,CD，因为
AXAY?XCYB
S?ACQS?ABCS?ABCS?ACQ， ??S?ABPS?ABP111AC?CQsin?ACQAC?BCsin?ACBAC?AQsin?CAQ222所以， ① ??111AB?BCsin?ABCAB?BPsin?ABPAB?APsin?BAP222由题设，BP,CQ是圆?的切线，所以?ACQ??ABC，?ACB??ABP，又
?CAQ??DBC??DCB??BAP（注意D是弧BC的中点），于是由①知
因为?CAQ??BAP，所以?BAQ??CAP，
AB?AQCQ? ②
AC?APBP于是
S?ABQS?ACP1AB?AQsin?BAQAB?AQ ③ ?2?1AC?APAC?APsin?CAP2而
S?BCQS?BCP1BC?CQsin?BCQCQ ④ ?2?1BPBC?BPsin?CBP2由②，③，④得
S?ABQS?ACP?S?CBQS?BCP，
即
S?ABQS?CBQS?ABQS?CBQ?S?ACP S?BCPAXS?ACPAY?， SYBXC?BCP又
?故
AXAY ?XCYBAXCMBY???1， XCMBYA设边BC的中点为M，因为
所以由塞瓦定理知，AM,BX,CY三线共点，交点即为T，故由YX//BC可得AT平分线段XY
2016A二、（本题满分40分）如图所示，在?ABC中，X,Y是直线BC上两点（X,B,C,Y顺序排列），使得BX?AC?CY?AB,设?ACX，?ABY的外心分别为O1,O2，直线O1O2与AB，AC分别交于点U,V.证明：?AUV是等腰三角形。
★证明：作?BAC的内角平分线交BC于点P.设?ACX ，?ABY的外接圆分别为?1和?2，由角平分线定理知，从而
BPABBXAB，又又条件可得, ??CPACCYACPXBX?BPABBP，即CP?PX?BP?PY，故P对圆?1和?2的幂相等， ???PYCY?CPACCP所以P在圆?1和?2的根轴上。
于是AP?O1O2，这表明点U,V关于直线AP对称，从而?AUV是等腰三角形。
2015A三、（本题满分50分）如图所示，?ABC内接于圆O，P为弧BC上一点，点K在线段AP上，使得BK平分?ABC.过K,P,C三点的圆?与边AC交于点D，连接BD交圆?于点E，连接PE并延长与边AB交于点F，证明：?ABC?2?FCB。
14平面几何-1981-2018年历年数学联赛分类汇编
