第1课时 对数函数及其图象
1．理解对数函数的概念．
2．掌握对数函数的图象和简单性质． 3．了解对数函数在生产实际中的简单应用．
1．对数函数的概念
函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
温馨提示：(1)对数函数y＝logax是由指数函数y＝a反解后将x、y互换得到的． (2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a>0且a≠1. 2．对数函数的图象及性质
x
温馨提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0 1 3．当底数不同时对数函数图象的变化规律 作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0. 1 1．作出函数y＝log2x和y＝logx的图象如下： 2 (1)函数y＝log2x的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？ (2)函数y＝的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？ (3)若将函数y＝log2x与y＝的图象画在同一坐标系中，其图象有什么关系？ [答案] (1)定义域为(0，＋∞)，值域为R，在(0，＋∞)上是增函数 (2)定义域为(0，＋∞)，值域为R，在(0，＋∞)上是减函数 (3)关于x轴对称 2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数的定义域为R.( ) (2)y＝log2x与logx3都不是对数函数．( ) (3)对数函数的图象一定在y轴的右侧．( ) (4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)，在定义域上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2 2 题型一对数函数的概念 【典例1】 指出下列函数哪些是对数函数？ (1)y＝3log2x；(2)y＝log6x； (3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1. [思路导引] 紧扣对数函数的定义判断． [解] (1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数． (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数． (3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log2x后又加1，不是对数函数． 依据3个形式特点判断对数函数 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. [针对训练] 1．若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( ) A．y＝log2x C．y＝log2x或y＝2log4x B．y＝2log4x D．不确定 [解析] 设对数函数的解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)，由题意可知loga4＝2， ∴a＝4，∴a＝2. ∴该对数函数的解析式为y＝log2x. [答案] A 题型二对数型函数的定义域 【典例2】 求下列函数的定义域． 3 (1)y＝log2x；(2)y＝log0.5?4x－3?； (3)y＝log0.5?4x－3?－1；(4)y＝log(x＋1)(2－x)． 3 2 [解] (1)定义域为(0，＋∞)． ??4x－3>0，(2)由? ??4x－3≤1， 3 解得 4 ?3?∴定义域为?，1?. ?4? 4x－3>0，??(3)由?1 4x－3≤，?2? 37 解得 48 ?37?∴定义域为?，?. ?48? x＋1>0，?? (4)由?x＋1≠1， ??2－x>0， 解得－1 ∴定义域为(－1,0)∪(0,2)． 求对数函数定义域的注意事项 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1. [针对训练] 2．求下列函数的定义域． (1)y＝ log0.4?x－1?1 ；(2)y＝； 2x－1log0.5?x－1? (3)y＝loga?4x－3?(a>0且a≠1)． x－1>0，?? [解] (1)?log0.4?x－1?≥0， ??2x－1≠0，∴定义域为{x|1 解得1 4 ??x－1>0，(2)? ?log0.5?x－1?>0，? 解得1 ∴定义域为{x|1 ??33 (3)当0 44?? 当a>1时，4x－3≥1?x≥1，∴定义域为{x|x≥1}. 题型三对数函数的图象 【典例3】 (1)已知a>0，且a≠1，则函数y＝a与y＝ loga(－x)的图象只能是( ) x (2)函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________． [思路导引] 利用对数函数的图象特征求解． [解析] (1)解法一：若0 解法二：首先指数函数y＝a的图象只可能在上半平面，函数y＝loga(－x)的图象只可能在左半平面，从而排除A、C；再看单调性，y＝a与y＝loga(－x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图象符合． (2)因为函数y＝logax (a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)． [答案] (1)B (2)(0，－2) 2x＋1 [变式] 若本例(2)的函数改为“y＝loga＋2”，则图象恒过定点坐标是________． x－12x＋1 [解析] 令＝1，得x＝－2，此时y＝2， x－12x＋1 ∴函数y＝loga＋2过定点(－2,2)． x－1[答案] (－2,2) x x x x 5
2019_2020学年高中数学第四章指数函数与对数函数4.4.1对数函数及其图象学案新人教A版必修1
