相信有了我之前的讲解，现在这张图会好理解很多。这张图也就是把亚采样的过程用矩阵的方式表达出来而已：
如图，x是为长度N的一维信号，也就是原信号，稀疏度为k。此刻它是未知的。
Φ为观测矩阵，对应着亚采样这一过程。它将高维信号x投影到低维空间，是已知的。
y=Φx为长度M的一维测量值，也就是亚采样后的结果。显然它也是已知的。
因此，压缩感知问题就是在已知测量值y和测量矩阵Φ的基础上，求解欠定方程组y=Φx得到原信号x。
然而，一般的自然信号x本身并不是稀疏的，需要在某种稀疏基上进行稀疏表示。令x=Ψs，Ψ为稀疏基矩阵，s为稀疏系数。 于是最终方程就变成了：y=ΦΨs。已知y、Φ、Ψ，求解s。 15. 对应一开始的例子大家就能明白：x就是三个正弦信号叠加在一起的原信号；稀疏矩阵Ψ就是傅里叶变换，将信号变换到频域S；而观测矩阵Φ就对应了我们采用的随机亚采样方式；y就是最终的采样结果。
16. y=ΦΨs有点长，我们把ΦΨ合并成一个矩阵，称之为传感矩阵。即令Θ=ΦΨ ，则y=ΘS。 问题即为，已知y和Θ，求解S。
求解出S后，由x=Ψs即可得到恢复出的原信号x。
然而在正常情况下，方程的个数远小于未知数的个数，方程是没
有确定解的，无法重构信号。但是，由于信号是K稀疏，如果上式中的Φ满足有限等距性质(RIP)，则K个系数就能够从M个测量值准确重构（得到一个最优解）。
17.接下来的数学内容可以简短略过：陶大神和Candès大神证明了RIP才是观测矩阵要满足的准确要求。但是，要确认一个矩阵是否满足RIP非常复杂。于是Baraniuk证明：RIP的等价条件是观测矩阵和稀疏表示基不相关（incoherent）。 这就是压缩感知的第二个前提条件。
18. 那怎样找到不相关的观测矩阵呢？陶哲轩和Candès又证明：?独立同分布的高斯随机测量矩阵可以成为普适的压缩感知测量矩阵。 于是满足高斯分布的随机测量矩阵就成了CS最常用的观测矩阵。 对于二维信号，往往就采用如右上图所示的采样矩阵对图像进行亚采样。
对于一维信号，采用前文提到的随机不等间距的亚采样即可。 ------------------------------------------------------------------------------
到这里，我们可以这样用一句话概括地描述什么是压缩感知： 如果一个信号在某个变换域是稀疏的，那么就可以用一个与变换基不相关的观测矩阵将变换所得高维信号投影到一个低维空间上，然后通过求解一个优化问题就可以从这些少量的投影中以高概率重构出原信号。
以上可以算作是压缩感知的定义吧。但是如果要再简洁一点呢？
在我看来，压缩感知可以用这样一句话来表述： 直接采集出一个JPEG
——之前图像压缩的方法是全采样之后再压缩，抛弃稀疏变换域中的一些小系数；而CS直接减少了采样点，采集完后、经过重建的图像，就是一副在某变换域稀疏的压缩图像，比如JPEG。 那这么做有什么优势呢？
对于很多情形，比如照相机拍摄照片，这样减少采样点并没有优势。因为所有像素的采集在一瞬间就都完成了。
但是对于一些采集比较慢的情形，比如核磁共振成像，CS就可以发挥巨大优势。原本一副MRI图像常常需要几十秒，速度慢也是MRI的一大缺陷。而应用CS技术后，只需要采集全采样几分之一的数据，就可以重建出原图。这样就可以把成像速度提高好几倍，同时对图像质量影响不大。
另一个应用是Rice大学开发的单像素相机，也就是说这种相机只需要一个像素，非常有趣。感兴趣的朋友可以自己去调查。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 三、压缩感知的重建方法
如前文所述，CS的重建也就是求解欠定方程组y=ΘS的方法。这是一个零范数（l0）最小化问题，是一个NP完全问题（没有快速解法的问题），因此往往转换成一范数（l1）最小化的求解，或者用一
些近似估计的算法。这部分的具体内容在这里就不再详述了。 — Errata for the second edition (hardback) —
看完题目的要求，想必大家肯定知道了这道题目要把一个很大范围的数列中筛选出素数来，那么在筛选素数的方法中，有一种叫做埃拉托斯特尼筛法的方法，下面是对其简介：
a2b2+b2c2+a2c2=12(a2b2+b2c2)+12(a2b2+a2c2)+12(a2c2+b2c2)≥abc(a+b+c)
对于二维信号，往往就采用二维高斯随机测量采样矩阵对图像进行亚采样。
?世界上最奇怪的数学天才，被奖励100万却拒领，宁愿过得像乞丐
数学上的突破不是只靠天才们的\我发现了\，而是由经验和直觉来指引的大量艰苦工作来推进的。
陶哲轩拥抱美满人生的秘诀，是内在的天赋与努力，是外界的教育与指引，抑或是两者兼有之，恐怕不同的人会有不同的答案。 为什么陶哲轩这么高效，多产呢？陶哲轩曾经分享他的时间管理之道。
另一个应用是Rice大学开发的单像素相机，也就是说这种相机只需要一个像素，非常有趣。感兴趣的朋友可以自己去调查。 陶象国说，陶哲轩一家是快乐家庭生活的一个好典型，“我们和哲轩都觉得，做人最重要的是快乐。”?
陶 哲 轩 的 1 0 岁 与 3 0 岁 ( 2 0 2 0 )
