高中物理实用微积分
问题：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ 分析：自由落体的运动公式是s?12gt（其中g是重力加速度），当时间增量?t很小时，2从3秒到（3＋?t）秒这段时间内，小球下落的快慢变化不大，因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度。 从3秒到（3＋?t）秒这段时间内位移的增量：
?s?s(3??t)?s(3)?4.9(3??t)2?4.9?32?29.4?t?4.9(?t)2
从而v??s?29.4?4.9?t. ?t?s?s越接近29.4米/秒；当?t无限趋近于0时，无限趋近
?t?t?s于29.4米/秒，此时我们说，当?t趋向于0时，的极限是29.4.
?t?s当?t趋向于0时，平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做瞬时速度.
?t从上式可以看出，?t越小，
1、极限
极限的严格定义比较繁琐，此处从略。通俗来说，如果当自变量x无限趋近某一数值
x0（记作x?x0）时，函数f(x)的值无限趋近某一确定的数值A，则A叫做x?x0时函数
f(x)?A f(x)的极限值，记作limx?x01n例如：lim??；limx，x?1时趋于无穷，0?x?1时等于0。对于稍复杂的
n??x??0 x函数求极限，可把函数化成几部分的初等运算，先求每一部分的极限，然后再对各部分的极限进行初等运算，得到最后的极限。 练习：limSin(x)2?x limsinx limcosx lim lim1?cosx
x??03?4xx??0x??0x??0x??0xx22、导数
2.1.某点的导数：
1
对于函数y=f(x)，在点x0附近，当x发生变化△x时，函数值有变化量△y=△f(x0)，定义△y/△x在△x→0时的值称为f(x)在x0处的导数，记为：
f'(x0)?lim?x?02
f(x0??x)?f(x0)?ydy?lim?|x?x?x?0?x?xdx2
0
例：f(x)=x 在x=3处的导数
x=3时，f(x)=9，当x=3+△x 时，f(3+△x)=( 3+△x)，则△f(x)= (3+△x)-9 故
2(3??x)2?32（?x）?6?xf'(3)?lim?lim?lim?x?6?6
?x?0?x?0?x?0?x?x2
2.2.导函数：
函数f(x)在其定义域内每一点的导数构成一个新的函数，这个函数称为f(x)的导函数，记为：y??f'(x)?dy dx2
2
2
2
例如我们研究函数f(x)=x在其定义域内的任意一个点x： 当x有变化△x时，△f(x)=(x+△x)-x=2x△x+(△x)
(x??x)2?x22x?x?(?x)2由导数的定义：f'(x)?lim?lim?lim2x??x?2x
?x?0?x?0?x?0?x?x即f(x)=x 在任意一个点x处的导数的值为2x,这个新的函数2x即称为原函数f(x)=x的导函数，记为
2
2
f'(x)?2x
常见函数的导数：(A为与x无关的定值)
A'?0 (Af(x))'?Af?(x)(xn)'?nxn?1(sinx)'?cosx (cosx)'??sinx(f(x)?g(x))'?f'(x)?g'(x) (f(x)g(x))'?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)思考：(f(x))'?? [f(g(x))]'?? g(x)2x?cosx1, tanx, sinx2, sin2x, sin2x2,
sinxcosx2
练习：求导函数： 2x2?x3 ,
2.3.导数的意义：
2.3.1斜率：函数f(x)在x0处的导数即为f(x)的图像在x0处的切线的斜率 2.3.2变化率：y??f'(x)?dy?y即y对x的变化率。 ?lim?x?0dx?xdvdx 速度v的变化率即为加速度：a?
dtdtd(mv)dpdQ 电流： ??I?dtdtdt?dEkdx
位移x的变化率即为速度：v?动量p=mv的变化率即为合力：F动能Ek对合力方向上位移x的变化率即为合力：F电势?对电场方向距离x的变化率即为场强：E?d?dx
例 ：已知简谐运动的函数S?Asin?t，试分析其速度、加速度函数，并推导出简谐运动的周期公式
2.3.3利用导数判断函数单调性和极值
判断单调性：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内y??0，那么函数y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y??0，那么函数y=f(x) 为这个区间内的减函数。
确定极大值与极小值：f?(x0)?0是函数
f(x)在x0处取极值的必要不充分条件。那么
在f?(x0)?0的前提下，x0在什么情况下是函数的极值点呢？
如左图（下页）所示，若x0是f(x)的极大值点，因此，x0的左侧附近f(x)只能是增函数，即f?(x)?0。x0的右侧附近f(x)只能是减函数，即f?(x)?0，同理，如右图所示，若
x0是极小值点，则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数，即f?(x)?0，在x0的右侧附近
f(x)只能是增函数，即f?(x)?0，从而我们得出结论：若x0满足f?(x0)?0，且在x0的
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两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f?(x)在x0两侧满足“左正右负”，则f(x0)是极大值；如果f?(x)在x0两侧满足“左负右正”，则f(x0)y y 是极小值。
o a X0 b x o a f?(x)?0f?(x0)f?(x)?0f?(x)?0f?(x)?0f?(x0)X0 x b 3.积分
3.1原函数
当物体沿Ox 坐标轴运动时，已知物体的位置坐标函数x?x(t)，可通过计算该函
数对时间的导数求出物体运动的速度。现提出一个相反的命题：若已知速度函数v?v(t)，怎样求该物体运动的坐标函数。换句话说，已知某函数的导数，如何求这个函数？
若F?(x)?则称F(x)为f(x)，
x2x2例如()??x，则f(x)的一个原函数。
22为x1212?的一个原函数；(v0t?at)?v0?at，则v0t?at是v0?at的一个原函数；
22(sinx)??cosx，故sinx为cosx的一个原函数。可见，积分是求导的逆过程。
由于常数C的导数为0，故F(x)?C也是
f(x)的原函数。由此可见，只要f(x)有一
个原函数，它就有无穷多个原函数，彼此间只差一常数。 3.2 不定积分 函数
f(x)的所有原函数叫作f(x)的不定积分，记作?f(x)dx?F(x)?C，C
2
的值由初始条件确定。
例：某质点在一直线上运动，速度变化规律为v=3t+5，t=0时s=3,试求质点的第3秒末的加速度及位移。
4
解：由a(t)??v?v'?6t => a(t)|t=3=18 ?t
23s(t)?（3t?5)dt?5t?t?C?由s(t)|t=0=3 => c?3 => s?t3?5t?3 s(t)|t=3=45 3.3定积分
问题：已知v?3?2t，求t1?2s至t2?5s内的位移。
分析：若能求出位置坐标函数
x?x(t)，则位移?x?x(t2)-x(t1)。x?x(t)即
v?3?2t的原函数。
解：x?（3?2t)dt??3t?t2?C，故?x?x(5)-x(2)?30m。
3.3.1 定积分：对函数
f(x) 只在某一闭区间?a，b?内积分，记作
?ba，其中F(x)是f(x)的原函数。 f(x)dx?F(x)ba?F(b)?F(a)3.3.2 定积分的几何意义：函数f(x)的定积分对应的是f(x)的图像的面积 由于
dF(x)?f(x)，即dF(x)?f(x)dx，在图像中，dF(x)?f(x)dx的意义即为底dx为dx、高为
f(x)的一小块面积，故定积分?af(x)dx表示由直线x?a,x?b，y?0和
b曲线y?f(x)所围成的曲边梯形的面积。 3.4 常用积分
?Adx?Ax?c
n?1xn?xdx?n?1?c(n??1)
1?xdx?lnx?c ?sinxdx??cosx?c ?cosxdx?sinx?c
3.5 解物理题时的用法：
①．列出微分方程 ②．两边同时积分
③．应用初值条件或是边界条件定解（或确定c值） 例：求sinaxdx
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?例：一根质量为m、长为L、质量分布均匀的直棒绕其中心轴转动，角速度为?，求它的动能
例：求一个绕中心匀速转动的圆盘的动能。（圆盘质量分布均匀，质量为m，半径为R，角速度为?） 换元积分法 例：求
?a2?x2dx(a?0)
解答：这个积分的困难在于有根式，但是我们可以利用三角公式来换元. 设x=asint(-π/2 a2?x2?acost，dx=acostdt,于是有： 2?tsin2ta2x1a?xdx??acost?acostdt?a(?)?C?arcsin?xa2?x2?C242a22222例：求sinxdx sinaxdx ???x2y21?xdx求椭圆2?2?1的面积 ab2初级微积分练习 求下列函数的极值 y?x3?27x y?3x2?x3 y?x3?3x2?1 y?6?12x?x3 求下列不定积分 ?(x3?3x?1)dx?(sinx?cosx)dx2cosxdx ? ?sin(ax?b)dx 2sinxcosxdx ??lnxxdx π/2求下列定积分 ??2eπ/40sinxdx （?x?1)dx 1?11?lnxxdx π/6?cos2xdx 2(3x?sinx)dx?0 用电阻率为?（常量）的金属制成一根长度为L、底面半径分别为a和b的锥台形导体。 （1）求它的电阻； （2）试证当a?b时，答案简化为面积）. 6 ?LS（其中S为柱体的横截
高中物理实用微积分
