高中物理实用微积分
问题:一个小球自由下落,它在下落3秒时的速度是多少? 分析:自由落体的运动公式是s?12gt(其中g是重力加速度),当时间增量?t很小时,2从3秒到(3+?t)秒这段时间内,小球下落的快慢变化不大,因此,可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时的速度。 从3秒到(3+?t)秒这段时间内位移的增量:
?s?s(3??t)?s(3)?4.9(3??t)2?4.9?32?29.4?t?4.9(?t)2
从而v??s?29.4?4.9?t. ?t?s?s越接近29.4米/秒;当?t无限趋近于0时,无限趋近
?t?t?s于29.4米/秒,此时我们说,当?t趋向于0时,的极限是29.4.
?t?s当?t趋向于0时,平均速度的极限就是小球下降3秒时的速度,也叫做瞬时速度.
?t从上式可以看出,?t越小,
1、极限
极限的严格定义比较繁琐,此处从略。通俗来说,如果当自变量x无限趋近某一数值
x0(记作x?x0)时,函数f(x)的值无限趋近某一确定的数值A,则A叫做x?x0时函数
f(x)?A f(x)的极限值,记作limx?x01n例如:lim??;limx,x?1时趋于无穷,0?x?1时等于0。对于稍复杂的
n??x??0 x函数求极限,可把函数化成几部分的初等运算,先求每一部分的极限,然后再对各部分的极限进行初等运算,得到最后的极限。 练习:limSin(x)2?x limsinx limcosx lim lim1?cosx
x??03?4xx??0x??0x??0x??0xx22、导数
2.1.某点的导数:
1
对于函数y=f(x),在点x0附近,当x发生变化△x时,函数值有变化量△y=△f(x0),定义△y/△x在△x→0时的值称为f(x)在x0处的导数,记为:
f'(x0)?lim?x?02
f(x0??x)?f(x0)?ydy?lim?|x?x?x?0?x?xdx2
0
例:f(x)=x 在x=3处的导数
x=3时,f(x)=9,当x=3+△x 时,f(3+△x)=( 3+△x),则△f(x)= (3+△x)-9 故
2(3??x)2?32(?x)?6?xf'(3)?lim?lim?lim?x?6?6
?x?0?x?0?x?0?x?x2
2.2.导函数:
函数f(x)在其定义域内每一点的导数构成一个新的函数,这个函数称为f(x)的导函数,记为:y??f'(x)?dy dx2
2
2
2
例如我们研究函数f(x)=x在其定义域内的任意一个点x: 当x有变化△x时,△f(x)=(x+△x)-x=2x△x+(△x)
(x??x)2?x22x?x?(?x)2由导数的定义:f'(x)?lim?lim?lim2x??x?2x
?x?0?x?0?x?0?x?x即f(x)=x 在任意一个点x处的导数的值为2x,这个新的函数2x即称为原函数f(x)=x的导函数,记为
2
2
f'(x)?2x
常见函数的导数:(A为与x无关的定值)
A'?0 (Af(x))'?Af?(x)(xn)'?nxn?1(sinx)'?cosx (cosx)'??sinx(f(x)?g(x))'?f'(x)?g'(x) (f(x)g(x))'?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)思考:(f(x))'?? [f(g(x))]'?? g(x)2x?cosx1, tanx, sinx2, sin2x, sin2x2,
sinxcosx2
练习:求导函数: 2x2?x3 ,
2.3.导数的意义:
2.3.1斜率:函数f(x)在x0处的导数即为f(x)的图像在x0处的切线的斜率 2.3.2变化率:y??f'(x)?dy?y即y对x的变化率。 ?lim?x?0dx?xdvdx 速度v的变化率即为加速度:a?
dtdtd(mv)dpdQ 电流: ??I?dtdtdt?dEkdx
位移x的变化率即为速度:v?动量p=mv的变化率即为合力:F动能Ek对合力方向上位移x的变化率即为合力:F电势?对电场方向距离x的变化率即为场强:E?d?dx
例 :已知简谐运动的函数S?Asin?t,试分析其速度、加速度函数,并推导出简谐运动的周期公式
2.3.3利用导数判断函数单调性和极值
判断单调性:一般地,设函数y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内y??0,那么函数y=f(x)为这个区间内的增函数;如果在这个区间内y??0,那么函数y=f(x) 为这个区间内的减函数。
确定极大值与极小值:f?(x0)?0是函数
f(x)在x0处取极值的必要不充分条件。那么
在f?(x0)?0的前提下,x0在什么情况下是函数的极值点呢?
如左图(下页)所示,若x0是f(x)的极大值点,因此,x0的左侧附近f(x)只能是增函数,即f?(x)?0。x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即f?(x)?0,同理,如右图所示,若
x0是极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是减函数,即f?(x)?0,在x0的右侧附近
f(x)只能是增函数,即f?(x)?0,从而我们得出结论:若x0满足f?(x0)?0,且在x0的
3
两侧f(x)的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值,并且如果f?(x)在x0两侧满足“左正右负”,则f(x0)是极大值;如果f?(x)在x0两侧满足“左负右正”,则f(x0)y y 是极小值。
o a X0 b x o a f?(x)?0f?(x0)f?(x)?0f?(x)?0f?(x)?0f?(x0)X0 x b 3.积分
3.1原函数
当物体沿Ox 坐标轴运动时,已知物体的位置坐标函数x?x(t),可通过计算该函
数对时间的导数求出物体运动的速度。现提出一个相反的命题:若已知速度函数v?v(t),怎样求该物体运动的坐标函数。换句话说,已知某函数的导数,如何求这个函数?
若F?(x)?则称F(x)为f(x),
x2x2例如()??x,则f(x)的一个原函数。
22为x1212?的一个原函数;(v0t?at)?v0?at,则v0t?at是v0?at的一个原函数;
22(sinx)??cosx,故sinx为cosx的一个原函数。可见,积分是求导的逆过程。
由于常数C的导数为0,故F(x)?C也是
f(x)的原函数。由此可见,只要f(x)有一
个原函数,它就有无穷多个原函数,彼此间只差一常数。 3.2 不定积分 函数
f(x)的所有原函数叫作f(x)的不定积分,记作?f(x)dx?F(x)?C,C
2
的值由初始条件确定。
例:某质点在一直线上运动,速度变化规律为v=3t+5,t=0时s=3,试求质点的第3秒末的加速度及位移。
4
解:由a(t)??v?v'?6t => a(t)|t=3=18 ?t
23s(t)?(3t?5)dt?5t?t?C?由s(t)|t=0=3 => c?3 => s?t3?5t?3 s(t)|t=3=45 3.3定积分
问题:已知v?3?2t,求t1?2s至t2?5s内的位移。
分析:若能求出位置坐标函数
x?x(t),则位移?x?x(t2)-x(t1)。x?x(t)即
v?3?2t的原函数。
解:x?(3?2t)dt??3t?t2?C,故?x?x(5)-x(2)?30m。
3.3.1 定积分:对函数
f(x) 只在某一闭区间?a,b?内积分,记作
?ba,其中F(x)是f(x)的原函数。 f(x)dx?F(x)ba?F(b)?F(a)3.3.2 定积分的几何意义:函数f(x)的定积分对应的是f(x)的图像的面积 由于
dF(x)?f(x),即dF(x)?f(x)dx,在图像中,dF(x)?f(x)dx的意义即为底dx为dx、高为
f(x)的一小块面积,故定积分?af(x)dx表示由直线x?a,x?b,y?0和
b曲线y?f(x)所围成的曲边梯形的面积。 3.4 常用积分
?Adx?Ax?c
n?1xn?xdx?n?1?c(n??1)
1?xdx?lnx?c ?sinxdx??cosx?c ?cosxdx?sinx?c
3.5 解物理题时的用法:
①.列出微分方程 ②.两边同时积分
③.应用初值条件或是边界条件定解(或确定c值) 例:求sinaxdx
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?例:一根质量为m、长为L、质量分布均匀的直棒绕其中心轴转动,角速度为?,求它的动能
例:求一个绕中心匀速转动的圆盘的动能。(圆盘质量分布均匀,质量为m,半径为R,角速度为?) 换元积分法 例:求
?a2?x2dx(a?0)
解答:这个积分的困难在于有根式,但是我们可以利用三角公式来换元. 设x=asint(-π/2 a2?x2?acost,dx=acostdt,于是有: 2?tsin2ta2x1a?xdx??acost?acostdt?a(?)?C?arcsin?xa2?x2?C242a22222例:求sinxdx sinaxdx ???x2y21?xdx求椭圆2?2?1的面积 ab2初级微积分练习 求下列函数的极值 y?x3?27x y?3x2?x3 y?x3?3x2?1 y?6?12x?x3 求下列不定积分 ?(x3?3x?1)dx?(sinx?cosx)dx2cosxdx ? ?sin(ax?b)dx 2sinxcosxdx ??lnxxdx π/2求下列定积分 ??2eπ/40sinxdx (?x?1)dx 1?11?lnxxdx π/6?cos2xdx 2(3x?sinx)dx?0 用电阻率为?(常量)的金属制成一根长度为L、底面半径分别为a和b的锥台形导体。 (1)求它的电阻; (2)试证当a?b时,答案简化为面积). 6 ?LS(其中S为柱体的横截
高中物理实用微积分
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